65337 str292

292 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

Zadanie 4.2. Wyznaczyć równanie linii geodezyjnej leżącej na powierzchni walcowej r = R we współrzędnych walcowych X¹ = r, x² = <p, xⁱ = r, jeżeli linia ta ma przebiegać przez punkty M(R, 0,0) oraz N(R,Ąn, 1).

Rozwiązanie. Linia geodezyjna w danym przypadku leży na powierzchni r — R, zatem drjds = 0 i po uwzględnieniu tego w relacji (4.5), gdzie

(1)

z zależności (4.6) otrzymujemy układ dwóch równań różniczkowych, są to równania

Całkami ogólnymi równań (2) są funkcje liniowe

(3)

q> = As + B, z = Cs+D.

Linia (3) przechodzi przez punkt M i od tego punktu liczymy jej długość s, wobec czego otrzymujemy B = 0 oraz D — 0.

Mamy obecnie

(4)

(p = As, z = Cs.

Pozostały do wyznaczenia współczynniki A i C. Jedno równanie otrzymujemy z założenia, że krzywa (4) przechodzi przez punkt M

(5)

A

natomiast drugie równanie otrzymujemy biorąc pod uwagę to, że parametr s jest jednocześnie długością łuku krzywej (4).

Z wymienionego założenia wynika, że v = 1, gdzie v jest określone wzorem (1) i stąd otrzymujemy (patrz wzór 3.22)

(6)

R²A² + C² = 1:

Pierwiastkami dodatnimi układu równań (6) są

(7)

Możemy obecnie napisać równania linii geodezyjnej. Mają one następującą postać:

Zadanie 4.3. Wyznaczyć symbole Christoffela rodzaju pierwszego [w «, r] oraz rodzaju drugiego {_m^r„} dla współrzędnych sferycznych x¹ = q, x² = 0, x³ = ę.