37127 str278

278 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

Zadania przykładowe

278 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

dcp

~8?

Zadanie 2.1. Dana jest funkcja ę = A.,xfx^s. Wyznaczyć —— oraz

d²<p

8x^kdx^m'

Rozwiązanie.

d<p

= A^+A^ = A_ksx’ + A,_kx^s = (A_ks + A_sk)x^s,

8

ać"

d²q>

dx^kdx^m

Zadanie 2.2. Dane są dwa tensory rzędu drugiego A_rs — symetryczny i — anty-symetryczny. Wyznaczyć iloczyn wewnętrzny A_rsB^rs danych tensorów.

Rozwiązanie. Z założenia mamy A_rs — A„ i B^rs = — B^sr, możemy zatem napisać

A_rJ)^rs = ~A_rsBT= — A_srB^sr.

Zmieniając oznaczenia wskaźników sumacyjnych w ostatnim wyrażeniu mamy

A„B^rs= -A_rsB^rs,

co jest możliwe tylko wówczas, gdy A_rsB^rs = 0.

Zadanie 2.3. Wykazać, że jeżeli H_r jest wektorem kowariantnym, to

(1)

8H_r 8H_S

jest antysymetrycznym tensorem kowariantnym rzędu drugiego.

Rozwiązanie. Z założenia H_r jest wektorem kowariantnym, zatem

(2)

K = H_k

8x^k

~8x"

Po zróżniczkowaniu wyrażenia (2) względem x^s mamy

gjl' Au

d7^s

(3)

8H_k 8x^m 8x^k] d^zx^K

_i_____i u _

8x^,s8x'^{r k}8x'^r8x"

8x"

i analogicznie

8H'_S — 8H_k 8x^m 8x^k    8²x^k

(4^    _i — i.____i u _

^V    8x'^r 8x^mi 8x'^r 8x\Y ^k8x^,s8x'^r'

Odejmując stronami wyrażenia (3) i (4) otrzymujemy

8H'_r 8H'_S 8H** 8x^m 8x^k 8H_k 8x^m 8x^k

d7~dx^lr ~ Yx^m' s7^s ~d7^r ~Jx"^r' s7^r' ~d7*'