81503 str298

298 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

Własność 8. Pochodna kowariantna slcalara jest wektorem kowariantnym.

Własność 9. Pochodna kowariantna tensora rzędu N jest tensorem o Walencji N+ 1. Uwaga. Analogiczne własności do 4, 5 i 6 dotyczą pochodnych kowariantnych. Oto kilka przykładów:

I

Własność 13. Tensor ko

(5.40)    K_rsmn=-f

(5.41)

(5.27)	(AT^r)lm = ATim (A = const),
(5.28)	(T,^km+VtJ,n = 7j* +V,l/H,
(5.29)	(T'Sr)ln = T'Ss/n + SrTjn,
(5.30)	(T^kS^l)ln = T^kS^l,„ +S*Tfn .

Własność 10. Pomiędzy pochodną absolutną i kowariantną tego samego tensora zachodzą związki

(5.31)	5T^klkl-^kK kk k dx^p _ 'T’fclK2—«.V óu ' ^lp du •
(5.32)	STklk2..,k„ dx” óu ^k,k2 -^kN,p du
(5.33)	Tklkl...kN dx” óu du

(5.34)

Definicja 11. Tensorem mieszanym krzywizny K*_rm nazywamy tensor określony przez następującą relację:

t

Zadania przykładowe

Zadanie 5.1. Wyznaczył

we współrzędnyc

Rozwiązanie. Jak w: ma składowe (patrz zad. 3.1 Składowe symbolu Ch przyjmują wartość:

a pozostałe składowe są rc Obecnie korzystamy ze

Własność 11. Tensor mieszany krzywizny (5.34) czyni zadość następującym tożsamo-ściom:

(5.35)    K\_mn=-K-:_rnm)

(5.36)    K’._rmn + K:_mnr + JC_nrm = 0.

Definicja 12. Mówimy, że przestrzeń jest plaska, jeżeli można w niej wprowadzić taki układ współrzędnych x^r, w którym forma metryczna ma postać

(5.37)    ds² = c_l(dx¹)² + e₂(dx²)² +... + E_N(dx^N)²,

gdzie ej są równe +1 lub —1.

Własność 12. Jeżeli przestrzeń jest plaska, to znikają wszelkie składowe tensora krzywizny (5.34)

(5-38)    K_rmn = 0.

Definicja 13. Tensorem kowariantnym krzywizny lub tensorem Riemanna nazywamy tensor K_prnm określony wzorem

(5-39)    K_prmn = a_psK:_rmn,

gdzie a_ps jest tensorem fundamentalnym przestrzeni.

ST' _ c ót

do którego podstawiamy o czego otrzymujemy

ÓT

~dt

ST

Tt

ÓT

T_t

Zadanie 5.2. Wyznaczyć ÓV

T_r = — we współrzędnych dx

Rozwiązanie. Dla wj korzystamy ze wzoru (5.22]