144 2

144 2



286 XIV. Przybliżone rozwiązywanie równań i układów

Zadanie 14.2. Dane jest równanie

f(x) = x3- 2x2 —4x-l = 0

mające pierwiastek w przedziale 3<x<4. Obliczyć przybliżoną wartość pierwiastka stosując metodę Newtona.

Rozwiązanie. Obliczamy

/(3)=—10<0,    /(4) = 9>0,

a następnie obliczamy wartości drugiej pochodnej w punktach x=3 i x = 4 dla ustalenia, z którego końca należy wyprowadzić styczną; mamy

/'(*) = 3x2 — 4x—4 ,    f"(x) = 6x - 4 .

W przedziale 3<x<4 druga pochodna jest dodatnia, a więc styczną prowadzimy z tego końca, w którym funkcja jest również dodatnia, tj. z punktu x=4.

Równanie stycznej w punkcie (b,f(b)) jest

y-m=rmx-b).

Aby znaleźć odciętą xt punktu przecięcia stycznej z osią Ox, podstawiamy y=0 oraz x = Xi‘, otrzymujemy -f (b) = f'(b)(xl - b), skąd poszukiwana wartość przybliżona pierwiastka wyrazi się wzorem

(14.2.1)


. Ab)

*mb-m

Podstawiając b=4 otrzymujemy

A    Ą 9 cn

/'(4)


*i = 4-777^ = 4-5ś = 3>67 •

Aby znaleźć dokładniejszą wartość pierwiastka, przyjmijmy dla łatwiejszego rachunku b=3,7; wtedy/(3,7) = 1,473. Stosujemy znowu wzór (14.2.1) i otrzymujemy dokładniejszą wartość pierwiastka

*2 = 3,7-


/(3,7) /'( 3,7)


= 3,7 -    =3,7 - 0,066 = 3,634 .


§ 14.3. METODA KOMBINOWANA

Oznaczmy punkt przecięcia krzywej z osią Ox przez A, punkt przecięcia stycznej poprowadzonej do krzywej w punkcie A z osią Ox przez 5, a punkt przecięcia cięciwy AB z osią Ox przez C (rys. 14.6). Zauważmy teraz, że we wszystkich możliwych przypadkach, w których stosowaliśmy metodę Newtona (patrz rysunki w § 14.2), punkt S leży po przeciwnej stronie punktu K niż punkt C.

Ha podstawie tej uwagi, stosując obie metody (reguła falsi i metodę Newtona) kolejno, możemy zwęzić przedział <a, 6>, w którym leży szukany pierwiastek równania, (jo przedziału <x,, x\y, wyznaczonego przez odcięte punktów S i C.

Jest to tzw. metoda kombinowana. Oczywiście, przy tej metodzie zakładamy tak samo, te pierwsza i druga pochodna zachowują stały znak w przedziale (a, by.

Zadanie 14.3. Obliczyć przybliżoną wartość pierwiastka równania

(1)    •    f(x)=x3+x2+x-2=0,

który znajduje się w przedziale (0, 1).

Rozwiązanie. Mamy /(0)= — 2, /(1) = 1. Obliczamy wartości pochodnych:

/'(*)=3*2 + 2x +1 ,    /"(*) = 6x+2,

mamy więc

/(0)= —2 , /(1)= 1 ,    /'(0)=1 , /'(!)=6 ,    /"(O) = 2 , /"(1) = 8 .

Obliczamy pierwsze przybliżenie pierwiastka metodą reguła falsi, prowadząc prostą przez punkty ,4(0, -2) i 5(1, 1); mamy

1 +2

y+2 =    - (■£ - 0),    czyli y+2 = 3x.

Podstawiając y=0 otrzymujemy xi=~.

Następnie stosujemy metodę Newtona. Piszemy równanie stycznej w punkcie 5(1, 1); mamy

“ 1 =/'(!)(*—l), czyli y — H=6(* — 1).

Podstawiając y = 0 znajdujemy x\ =|.

Możemy więc teraz twierdzić, że pierwiastek naszego równania (1) znajduje się w przepale (|, |) o długości |, czyli w przedziale (0,666..., 0,833...).

Jeżeli ta dokładność nie jest wystarczająca, to obliczamy np. f (y^); jeżeli okaże się /(^)>0, to pierwiastek będzie się znajdować w przedziale (§, ^), a jeżeli /(^)<0, to


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
143 2 284 XIV. Przybliżone rozwiązywanie równań i układów § 14.2. Metoda stycznych 285 W taki sam sp
146 2 290 XIV. Przybliżone rozwiązywanie równań i układów >^0,5^0,8. Tak więc możliwe punkty prze
Untitled 37 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów 144 /*(z) = — 16z2 + O z
Untitled 30 130 J. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów Przy rozwiązywaniu ró
Untitled 32 134 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów jest wiele metod ułat
Untitled 33 136 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów Niech M(x0) oznacza l
Untitled 36 142 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów Kryterium Routha. War
Untitled 41 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów 152 + e
Untitled 45 160 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów boków prostokąta, zwa
Untitled 35 140 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów 3.2.4. Lokalizacja ze
Untitled 41 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów 152 + e H*. — o
Untitled 34 138 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów Tw. (Lagrange’a). Nie
Untitled 35 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów 140 3.2.4. Lokalizacja ze
Untitled 39 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów 148 E = p* gdzie p — rząd
Untitled 40 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów 150 wyznaczania przybliże
Untitled 43 156 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów3.5.1. Metody podziału
Untitled 44 3. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów 158 Przypominamy, że licz

więcej podobnych podstron