286 XIV. Przybliżone rozwiązywanie równań i układów
Zadanie 14.2. Dane jest równanie
f(x) = x3- 2x2 —4x-l = 0
mające pierwiastek w przedziale 3<x<4. Obliczyć przybliżoną wartość pierwiastka stosując metodę Newtona.
Rozwiązanie. Obliczamy
/(3)=—10<0, /(4) = 9>0,
a następnie obliczamy wartości drugiej pochodnej w punktach x=3 i x = 4 dla ustalenia, z którego końca należy wyprowadzić styczną; mamy
/'(*) = 3x2 — 4x—4 , f"(x) = 6x - 4 .
W przedziale 3<x<4 druga pochodna jest dodatnia, a więc styczną prowadzimy z tego końca, w którym funkcja jest również dodatnia, tj. z punktu x=4.
Równanie stycznej w punkcie (b,f(b)) jest
Aby znaleźć odciętą xt punktu przecięcia stycznej z osią Ox, podstawiamy y=0 oraz x = Xi‘, otrzymujemy -f (b) = f'(b)(xl - b), skąd poszukiwana wartość przybliżona pierwiastka wyrazi się wzorem
(14.2.1)
. Ab)
Podstawiając b=4 otrzymujemy
A Ą 9 cn
/'(4)
*i = 4-777^ = 4-5ś = 3>67 •
Aby znaleźć dokładniejszą wartość pierwiastka, przyjmijmy dla łatwiejszego rachunku b=3,7; wtedy/(3,7) = 1,473. Stosujemy znowu wzór (14.2.1) i otrzymujemy dokładniejszą wartość pierwiastka
*2 = 3,7-
/(3,7) /'( 3,7)
= 3,7 - =3,7 - 0,066 = 3,634 .
§ 14.3. METODA KOMBINOWANA
Oznaczmy punkt przecięcia krzywej z osią Ox przez A, punkt przecięcia stycznej poprowadzonej do krzywej w punkcie A z osią Ox przez 5, a punkt przecięcia cięciwy AB z osią Ox przez C (rys. 14.6). Zauważmy teraz, że we wszystkich możliwych przypadkach, w których stosowaliśmy metodę Newtona (patrz rysunki w § 14.2), punkt S leży po przeciwnej stronie punktu K niż punkt C.
Ha podstawie tej uwagi, stosując obie metody (reguła falsi i metodę Newtona) kolejno, możemy zwęzić przedział <a, 6>, w którym leży szukany pierwiastek równania, (jo przedziału <x,, x\y, wyznaczonego przez odcięte punktów S i C.
Jest to tzw. metoda kombinowana. Oczywiście, przy tej metodzie zakładamy tak samo, te pierwsza i druga pochodna zachowują stały znak w przedziale (a, by.
Zadanie 14.3. Obliczyć przybliżoną wartość pierwiastka równania
(1) • f(x)=x3+x2+x-2=0,
który znajduje się w przedziale (0, 1).
Rozwiązanie. Mamy /(0)= — 2, /(1) = 1. Obliczamy wartości pochodnych:
/'(*)=3*2 + 2x +1 , /"(*) = 6x+2,
mamy więc
/(0)= —2 , /(1)= 1 , /'(0)=1 , /'(!)=6 , /"(O) = 2 , /"(1) = 8 .
Obliczamy pierwsze przybliżenie pierwiastka metodą reguła falsi, prowadząc prostą przez punkty ,4(0, -2) i 5(1, 1); mamy
„ 1 +2
y+2 = - (■£ - 0), czyli y+2 = 3x.
Podstawiając y=0 otrzymujemy xi=~.
Następnie stosujemy metodę Newtona. Piszemy równanie stycznej w punkcie 5(1, 1); mamy
“ 1 =/'(!)(*—l), czyli y — H=6(* — 1).
Podstawiając y = 0 znajdujemy x\ =|.
Możemy więc teraz twierdzić, że pierwiastek naszego równania (1) znajduje się w przepale (|, |) o długości |, czyli w przedziale (0,666..., 0,833...).
Jeżeli ta dokładność nie jest wystarczająca, to obliczamy np. f (y^); jeżeli okaże się /(^)>0, to pierwiastek będzie się znajdować w przedziale (§, ^), a jeżeli /(^)<0, to