51954 str276

276 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

w pewien określony sposób tensor symetryczny względem pewnej pary wskaźników o tej samej Walencji co dany tensor, np.

(2.7)    Sⁿkm = ł(A^akm+Aⁿmk).

Definicja 6. Tensorem antysymetrycznym (skośniesymetrycznym) względem jakiejś pary wskaźników (jednocześnie górnych lub jednocześnie dolnych) nazywamy tensor, w którym przestawienie wymienionej pary wskaźników powoduje jedynie zmianę znaków jego składowych bez zmiany wartości bezwzględnej, np.

(2.8)    A^ksm =-A^.

Własność 5. Tensor antysymetryczny pozostaje antysymetrycznym po dokonaniu transformacji układu współrzędnych.

Definicja 7. Uskośnicmiem nazywamy operację, która przypisuje danemu tensorowi w pewien określony sposób tensor antysymetryczny względem pewnej pary wskaźników o tej samej Walencji co dany tensor, np.

(2.9)    N- = i(A-~Al^r).

Własność 6. Każdy tensor o co najmniej dwóch wskaźnikach górnych lub dolnych można przedstawić w postaci sumy tensorów: symetrycznego i anty symetrycznego, np.

(2-10)    A^rki_m = S[i_m + N[i_m,

gdzie

SI/m = i C^um + A^rkml), N^rklm = i(A^rklm — A_kmi).

Definicja 8. Iloczynem zewnętrznym dwóch tensorów nazywamy tensor o Walencji równej sumie walencji czynników,.który jest zbiorem wszystkich iloczynów składowych przemnażanych tensorów, np.

(2.11)    A?<*=l£.

W iloczynie zewnętrznym wszystkie wskaźniki czynników są różne.

Własność 7. Iloczyn zewnętrzny dwóch tensorów jednakowych jest tensorem symetrycznym.

Własność 8. Iloczyn zewnętrzny tensora symetrycznego {antysymetrycznego') przez inny tensor jest tensorem symetrycznym {antysymetrycznym).

\

Własność 9. Iloczyn zewnętrzny tensora symetrycznego i tensora antysymetrycznego jest tensorem symetrycznym względem jednej pary wskaźników i jednocześnie antysymetrycznym względem innej pary wskaźników.

Definicja 9. Kontrakcją lub operacją zwężania tensora nazywamy działanie polegające na sumowaniu współrzędnych tensora o identycznym wskaźniku jednym górnym, a drugim dolnym, np.

(2.12)    T^k = A^km^m.

Własność 10. Rezultate początkowej, przy czym n

(2.13)

Wzór (2.13) jest przykła o walencji 5. W wyniku o Własność 11. Każdy u do postaci tensora kontraw, Definica 10. Iloczynem na iloczynie zewnętrznym, j sora, a pozostały do drugi Własność 12. Każdenn znaczny sposób skalar będą

(2-14)    \A_mn\ = ^A«

As\

Własność 13. Jeżeli X^r nym) i A_rX^r (A^rX_r) jest nie: riantnym), np.

(2.15) to

(2.16)

Ponieważ wielkości X¹

co oznacza zgodnie ze wzore Własność 13 nosi nazwf to nie ogranicza się oczywi istotną, by występowały w mo, że mają charakter ten!

Własność 14. Jeżeli w ka dany jest zbiór wielkości f{n kowariantnym i w wyniku c (2.17)

otrzymujemy wektor kontrai rzędu drugiego.

Własność 14 można uo§