141(1)

Obliczmy całki występujące w pierwszym ze wzorów (2>

b    a    ^    c    i 3    \

/₁₌ | _Xydx = |    </* = f {ax-2a^rx~*+xr) dx =

a    o    ó

[ 1    ₂    4    > A 1 jT a³

⁼|y^x~⁺t^x\r~3o

I₂= I ydx = | 0-x*Ydx = | (a-2a*V*'+*)<fc = “

Wobec tego .v_c = >’c = y- = y

683.    Wyznaczyć środek ciężkości jednorodnego łuku półokręgu x¹\-y'¹ = a², położonego poniżej osi Ox.

684.    Wyznaczyć środek ciężkości jednorodnego półkola x²+y² < a², leżącego nad osią Ox.

685.    Wyznaczyć środek ciężkości jednorodnej figury, będącej częścią wnętrza elipsy x = acost, y = ósinr, leżącej w pierwszej ćwiartce płaszczyzny.

686.    Wyznaczyć środek ciężkości jednorodnej figury, ograniczonej przez parabole X² = 20y i >’² = 20.v.

687.    Wyznaczyć środek ciężkości jednorodnego łuku asteroidy

= ncos³r, y — a sin³/, leżącego na prawo od osi Oy.

688.    Wyznaczyć środek ciężkości łuku asteroidy, leżącego w pierwszej ćwiartce płaszczyzny, jeżeli gęstość liniowa w każdym punkcie luku jest wprost proporcjonalna do odciętej tego punktu.

§ 10. Całki niewłaściwe

Całkami niewłaściwymi nazywamy całki oznaczone, w których albo granice całkowania są nieskończone, albo funkcja podcałkowa jest nieciągła.

I. Całki niewłaściwe o nieskończonych granicach całkowania są określane za pomocą przejścia granicznego

+no    fi

(1)

(2)

(3)

J f(x)dx — lim J f(x)dx

p~> -\-co,

O    D

—oo

f f(x)dx = lim J f(x)dx

C    P

fi-*+oo '

f f(x)dx = lim Jf(x)dx+ lim j f(x)dx

gdzie c — dowolna liczba rzeczywista.

II. Całki niewłaściwe z funkcji o nieciągłościach nieskończonych także są określane za pomocą przejścia granicznego, przy czym: jeżeli funkcja f(x) ma nieciągłość nieskończoną w punkcie x = c należącym do przedziału [a, b], a we wszystkich pozostałych punktach tego przedziału jest ciągła, to

b    c—ci    b

S2--+0

ff(x)dx = lim j f(x)dx+ lim J f(x)dx    (4)

C+«2

£l-»+0 ,    -    ’ ⁿ

gdzie ej i e₂ zmieniają się niezależnie od siebie.

Całki niewłaściwe nazywają się zbieżnymi lub rozbieżnymi w zależności od tego, czy istnieją czy też nie określające je granice odpowiednich całek oznaczonych ( właściwych).

689. Obliczyć następujące całki niewłaściwe:

-t-a

‘>1

— 00

Rozwiązania objaśnić geometrycznie.

Rozwiązanie: l)Na podstawie wzoru (1), mamy

+ eo    fi

f e~^xdx— lim j e~^xdx = lim[—e^-x]§ = lim(e°— e~^f) = 1

o    fi-*+a> o

285 1