0483

485

§ 1. Całki niewłaściwe o granicach nieskończonych

Dowód można skopiować z dowodu twierdzenia 1 z ustępu 366.

Często potrzebne jest następujące twierdzenie, będące wnioskiem z poprzedniego:

Twierdzenie 2. Jeżeli istnieje granica

lim

JC-00

m

9(x)

= K

(0    < +oo),

00    CO

to ze zbieżności całki J g(x)dx dla K < +oo wynika zbieżność całki f f(x)dx, a z rozbieżno-

a    a

ści pierwszej całki dla K > 0 wynika rozbieżność drugiej. (A więc dla 0 < K < + oo obie całki są zbieżne lub rozbieżne równocześnie).

Dowód jest taki sam jak dowód analogicznego twierdzenia 2 z ustępu 366 [patrz 473, 3°]. Wybierając konkretną funkcję do porównania możemy stąd otrzymać szczegółowe

CO

kryteria zbieżności lub rozbieżności całki J / (x) dx. Praktyczną wartość ma porównanie

a

z funkcją — 1 jx^x, która jest całkowalna w granicach od a > 0 do co dla X > 1 i nie jest całkowalna dla X < 1 [470, 2)]. Na tym fakcie oparte są następujące kryteria Cauchy'ego: Niech funkcja f {x) ma dla dostatecznie dużych x postać

/(*) =    (X > 0) .

X

00

Wtedy: 1) jeżeli X > 1 i f(x)s^c< + co, to całka f f(x)dxjest zbieżna, 2) jeżeli

a

natomiast X < 1 i <p(x) > c > 0, to całka ta jest rozbieżna.

Przy dowodzie należy skorzystać z twierdzenia 1. Funkcją porównawczą jest cjxⁱ' [473, 3°].

Jeżeli dla x -* co funkcja /(x) jest nieskończenie małą rzędu X > 0 (w porównaniu z 1 [x),

00

to całka J f (x) dx jest zbieżna lub rozbieżna w zależności od tego, czy X > 1 czy też X < 1.

^a 1 Należy tu powołać się na twierdzenie 2; rolę funkcji g (x) odgrywa ~ .

Przykłady

dx

r/l+J

Funkcje podcałkowe są dla x sza całka jest rozbieżna, a druga zbieżna. P(x)

oo nieskończenie małymi rzędów odpowiednio -j i 2. A więc pierw*

²>J'

QM

dx, gdzie P W jest wielomianem stopnia m, a QM wielomianem stopnia it>m nie

mającym pierwiastków w przedziale <a, oo).

Dla dostatecznie dużych x funkcja podcałkowa zachowuje określony znak. Dlatego też (zmieniając znak, gdy zajdzie potrzeba) możemy tu zastosować podane poprzednio kryteria. Funkcja podcałkowa jest (dla x -*■ oo) nieskończenie małą rzędu n—m. A więc dla n — m+1 całka jest rozbieżna, a dla n > > m+2 zbieżna. (Dla n < m jest ona oczywiście rozbieżna).