0536

538

XIII. Całki niewłaściwe

Przechodząc do granicy, gdy x -* x_x, otrzymujemy

(7)

A-i--7T,

P(x_x)

*■ e'(xj

Przejdźmy teraz do przykładów zastosowania wzorów (6) i (7).

Przykłady

1) Na początek rozpatrzymy całkę

TW

/

l+x²

■dx,

gdzie m i n są liczbami naturalnymi i m<n. Wszystkie warunki do zastosowania wyprowadzonego wzoru są spełnione.

Pierwiastkami mianownika są tu liczby

X = cos    +1 sin    (A = 0,1,2.....n-1; n.....2n-l),

*2n    2n

lecz tylko pierwsze n spośród nich mąją dodatnie części urojone. Oczywiście x_x = *o^a+1, gdzie

x₀ = cos - + i sin .

2n    2n

Ze wzoru (7) dla A = 0, I, .... n—1 mamy

Ą _    ___l__x2m+i __1_ _y(2m+1 )<2A+l)

2nx\’~^l

2/i

2n

(uwzględniając, że x²x — — 1). Obliczając sumę postępu, otrzymujemy

, _xlm+1_ „(2*+l)<2»+l> *    . **o    **0

\ ^1<+) ^ ₌__L \ ' _JC(2«|+1)<2Z+1) ___1_ .

Z_i ^x    2n Z_J    2n    i_v*»-+2>

A—o    o

lub też, ponieważ xl" = — 1,

_2<2«+l) n X^2m+i — y-<2*+l) •*0    o    o

Podstawiając

_Jr±(2-₊₁, _{= cos} 2ą±l__n±i sin 2m_±L_w,

2n

2n

przedstawimy ostatecznie szukaną sumę w postaci

1

2ni    2/n+l _

2n

Sin-;--TC

Stąd według wzoru (6) mamy + 00

/

_v2m    _

*    dx=^--

l+x²

n    2m+l _

sin —r-rc

(m < n).

2n