0481

483

§ 1. Całki niewłaściwe o granicach nieskończonych

[patrz .159, 4) (a). Zachowujemy tu poprzednie oznaczenia]. Obliczmy całkowitą ilość ciepła Joula Q wydzielonego przez ten prąd.

Elementarna ilość ciepła w przedziale czasu <r, t+dty jest oczywiśc ie równa

dQ = I³Rdt.

Sumując w całym przedziale nieskończonym, otrzymujemy

OO    co    ,

Q = / I²R dt = Rio • f e ^L dt = ±L1%.

o    o

Zauważmy, że chociaż praktycznie biorąc prąd będzie po skończonym czasie nieodczuwalny, mimo to, aby wyznaczyć całkowitą ilość energii elektrycznej, przechodzącej w ciepło, musimy całkować w przedziale nieskończonym.

473. Analogia z szeregami. Najprostsze twierdzenia. Ograniczymy się teraz do całek postaci (1); wszystko co powiemy o nich, łatwo da się przenieść na przypadki (2) i (3). Będziemy przy tym zawsze zakładali, ie funkcja f[x) jest całkowalna w sensie właściwym w przedziale od a do A >.,.a, tak że zagadnienie dotyczy tylko całki niewłaściwej od a do oo.

00    CO

Między całkami niewłaściwymi f / (x) dx i szeregami liczbowymi 5] istnieje głęboka

a    1

analogia, którą warto podkreślić.

Gdy proces sumowania względem n zastąpimy procesem całkowania względem x, to wystąpią analogie pojęć:

wyraz ogólny szeregu a_n

suma częściowa szeregu

N

2>

1

suma szeregu

00

2>

i

jako granica sumy częściowej dla N -+ oo reszta szeregu

00 N+l

funkcja podcałkowa

/(x)

całka właściwa f f(x) dx

a

całka niewłaściwa f f (x)dx

a

jako granica poprzedniej całki dla A -* oo całka

f f(x) dx

A

Podamy najprostsze twierdzenia o całkach niewłaściwych analogiczne do twierdzeń o szeregach z ustępu 364. Dowód ich, przy wykorzystaniu wymienionych analogii, pozostawiamy czytelnikowi.

31*