214

426 XXI. Całki niewłaściwe

Zadanie 21.34. Przewodnik nieskończenie długi biegnący prostolinijnie, jest elektry_Cz nie naładowany równomiernie tak, że ładunek przypadający na jednostkę długości wy nosi y. Wyznaczyć wartość natężenia pola K w odległości a od przewodnika (rys. 21 5)

Rozwiązanie. Składowa wzdłuż wektora K natężenia pola w punkcie P wyw₀ł_ana

ładunkiem Aq = yAl zgromadzonym na odcinku Al:

więc

yAl    .

AK=-^-costp, gdzie r =

cos ę

AK =

yAl cos³ ę

Zatem natężenie pola K w punkcie P wynosi

K

ycos³ <pdl

P ycos^;

~ J ^a

Ponieważ / = asin ę, więc dl=a cos cpdę. Ostatecznie mamy

■ł-K    łn    i”

P ycos⁴ cpdtp y f    ,    1    y P

K =    -——    cos * <pdcp= — •—    (3+4cos2<p+co.s4<p)d<p =

Ja    aj    8 a J

-£tt    — -i-TT

=— 3 + 2 sin 2 <0+ 8a |_

¹ ■ iT

— sin 4©    -

4

^ł" 37ty

87'

Zadania

Obliczyć całki (zad. 21.35-21.53):

T OO

2.. 35. | j

— CO

+ 00

2.. 37. J

dx

+x

2 •

dx

x +9

7/3 + 00

P (arc 21.36.    —

(arctgx)² dx

- co + 00

+ x

21.39.

p dx

J (x-3f

P dx 21.3*. j

3

+ 00

2.,* J

21.40.

2x² +4

2,.4,. J

t

+ 00

^2,M f

— 00

+ 00

21.45. J -

dx

x —6x + )3 dx

x²+2x+2'

dx

21.42. f    .

J *²+*+l

— CO + 00

2'.44. J

1

+ 00

+x

3 *

f (

2,.4«. j

*(* + l)² (lx+2)dx

5* +12*—60

0

+ oo

f dx

21.47.    .    .

J x\J x² — \

i

+ 00

21.49. J’ xe~^x2dx.

0

+ oo

2..₅₁. J

+ 00

21.48. f e~^axdx, a> 0. 0

+ oo

J

0

dx.

21.50. J e * sin*dx. dx

2,.52. J-

+ b cos *

,    a>b> 0.

Wskazówka (do zad. 21.52). Podstawić tg4* = f.

21.53. f

J a ‘

d*

^!cos²* + 6²sin²* Wskazówka. Podstawić tg* = /.

, a>0, b>0.