213

424 XXI. Całki niewłaściwe

Zadanie 21.30. Kondensator o pojemności C został naładowany do napięcia U₀. Otyj czyć energię straconą w oporze R, przez który kondensator jest rozładowywany (rys. 21 4)

Rozwiązanie. Prąd wyładowania kondensatora określa wzór

gdzie t czas liczony od chwili zamknięcia obwodu, ar — stała czasu równa r=RC.

Energię elektryczną straconą w oporze R wyznaczamy

R

Rys. 21.4

+ CO

+ co

Re~^2,/RCdi

+ 00

Ul f

tJ

^2,IRCdt = — li_m

R t _+ CS ,

e-^2,lRcdt =

0

R fi-+oo

Ul

R

RC

Y

u²0c

2 ' .

Zadanie 21.31. Obliczyć całkę

+ co

j e~^xdx. o

Rozwiązanie. Mamy obliczyć

lim | e~^xdx.

u —^{1 2} + 00 0

Obliczamy całkę nieoznaczoną

\e~^xdx=-e-^x,

a następnie

+ 00    V

|' e~^xdx= lim j e~^xdx= lim [— f“^-x]o= hm f—- +1 j = 1.

J    y-² + 00 J    p-² + co    u-² + oo\ £    /

O    O

Zadanie 21.32. Charakter zmian natężenia prądu elektrycznego pewnego imp^u'^sU wywołanego w obwodzie jest określony następującą zależnością i — 5te~'. Wyznaczyć ca

j,_oWjty ładunek elektryczny q= J idt, jaki przepłynie w obwodzie wskutek wywołania

jednego impulsu.

Rozwiązanie. Mamy

+ ao    +00    fl

q= j idt = 5 j te~'dt = 5 lim §te~'dt.

O    O    f, - + co o

Wyznaczamy całkę nieoznaczoną

J te~'dt= -te~'+ J e~'dt = -te~'-e~' + C,

skąd

q-5 lim [ — te e ']'ó = 5 lim ( — t_te —e~^fl + l) = 5.

fl “► + 00

Uwaga, lim tje^_,| = 0.

11 -* + 00

Zadanie 21.33. Obliczyć całkę

dx

J

3jc²+2* + 1

fi -* + CC

, gdzie a =

V6-l 3 ‘

Rozwiązanie. Obliczając całkę nieoznaczoną znanym sposobem (por. zad. 16.13 na str. 311) otrzymujemy

1

dx 1    3* + l

—?---=-7= arctg —<=r~.

3jc² + 2x + 1 y/2    sp2

Obliczamy całkę oznaczoną

a

I

dx

a

J

3« + l\

V2 y

dx    f 1 3a +1    1 3u +

- = lim I —=. arctg —j=----j= arctg

i —=-- lim i —=-= nra i —= arcig—■=---■= aicig—jzz

J 2>x^L+2x + \ J 3x²+2x + 1 «--«o\V2 V2 n/2 V2

_r. 76-1

udy <* =—_—₍ wtedy

gdy _U-> — oo, wtedy

Ostatecznie otrzymujemy

a

J

1    3a +1    jc

-p arctg —■=- = —■=■; V2 72    3 V2

1    3u + l — jt

dx

J 3*²+2* + l 6^2

— oo

5jt    .    y/6—l

, gdzie    a = —-—

1

ze wzoru

2

i

A= $i²Rdt. o

Rozładowanie kondensatora poprzez opór trwa nieskończenie długo, dlatego całkowita energia stracona w oporze przy rozładowaniu kondensatora jest całką niewłaściwą