210

418 XXI. Całki niewłaściwe

=/(x) w przedziale a^x<b oraz część prostej x = b, leżąca ponad osią Ox jest skończ_0ne (rys. 21.1) i równa się całce (21.1.2).

Jeżeli funkcja/(x) jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b} z wyjątkiem wewnętrzne

b

go punktu x = c i jeżeli istnieje całka j |/(x)| dx, to całka ta wyraża sumę pól obszarów

a

określonych całkami

(21.1.3)    J\f(x)\dx+ J\f(x)\dx.

3

Zadanie 21.1. Obliczyć

o

Rozwiązanie. Funkcja podcałkowa jest nieciągła w punkcie x = 0. Przyjmując £>0 obliczamy całkę

3

I

dx

-^ = [2V;]_t³ = 2V3-2VL

Gdy £-> + 0, wtedy 2 vV-»0, więc

lim

«->+o

hr²*-

Zadanie 21.2. Obliczyć pole obszaru (rys. 21.2), którego brzegiem jest odcinek ⁰⁵¹ odciętych od x=0 do x-9, rzędne w tych punktach oraz krzywa

y=

Rozwiązanie. Załączony szkic przedstawia obszar (zakreskowany), którego pole flainy obliczyć. Funkcja (1) jest nieciągła dla x=l, tj. dla wewnętrznego punktu przedziału (0 9), ujemna dla x<l, dodatnia dla x>\. Poszukiwane pole równa się całce

(2)

r * r * r *

J    J    J ^=1'

O    o    1+ei

Obliczamy całkę nieoznaczoną

J | (_X-ir^ll3dx=Ux-i)^V3=l(V^i)².

Mamy wtedy

1-e

3

2 *

o

Gdy e-»0, wtedy i^/(-e)²->0, a więc

1    1 -t

ę dx _r I* dx 3

®    JęjrT^-5'

O    o

Druga z całek po prawej stronie równości (2) daje

Gdy £->0, wtedy § (Ve)²->0, (4)

a więc

f dx ,

3/    ^— ^ •

£->+0 J X— 1

^statecznie, po podstawieniu wyników (3) i (4) do (2), otrzymujemy

9