0476

ROZDZIAŁ XIII

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

§ 1. Całki niewłaściwe o granicach nieskończonych

470. Definicja całki o granicach nieskończonych. W rozdziale IX poznaliśmy pojęcie

b

całki oznaczonej j f (x) dx w przypadku przedziału skończonego <«, by i funkcji ograni-

a

czonej /(*). Ten rozdział poświęcimy uogólnieniu tego pojęcia w różnych kierunkach. Zaczniemy od całki w przedziale nieskończonym.

Niech funkcja f (jr) będzie określona w przedziale (a, + oo), to znaczy dla x y^-a i całko-

A

walna w każdej skończonej części (a, Ay tego przedziału; całka f f(x)dx ma więc sens

a

dla dowolnego A > a.

Granicę tej całki (skończoną lub nieskończoną), gdy A -* + oo, nazywamy całką funkcji f (*) w granicach od a do + oo i oznaczamy symbolem

00    A

(I)    f /(x) dx = lim ff(x)dx.

J    A -CO J

a    a

W przypadku gdy ta granica jest skończona, mówimy, że całka (I) jest zbieżna, a funkcję f(x) nazywamy całkowalną w przedziale nieskończonym <«, 4-oo). Jeżeli granica (1) jest nieskończona, bądź w ogóle nie istnieje, to mówimy o calce, że jest ona rozbieżna. W odróżnieniu od zbadanej poprzednio całki w sensie właściwym, czyli całki właściwej, określoną przed chwilą całkę oznaczoną (I) nazywamy całką niewłaściwą (‘).

Przykłady

1) Funkcja ^ jest całkowalna w dowolnym przedziale skończonym (0, A) (/4>0) i mamy

/

dx

l+x²

= arc tgjr

- arc tg A .

Ponieważ całka ta ma dla A -*■ + oo granicę skończoną -/2, więc całka jest zbieżna w przedziale od 0 do + 00 i ma wartość

I

dx

l+x²

= lim

A +oo

/= T'

(') Spotkaliśmy już pojęcie całki niewłaściwej w ustępie 373.