CCF20091117002

232

CIĄGI

Liczba g jest granicą nieskończonego ciągu (a_n), czyli lim a_n = g wtedy i tylko

n — oo

wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej a istnieje taka liczba naturalna k, że dla wszystkich n takich, że n^k:

\a_n -g\ <£

Uwaga. O granicy ciągu możemy mówić tylko wtedy, gdy rozważamy ciąg nieskończony.

Ćwiczenie B. Granicą ciągu a„ = 3- ~ jest liczba g = 3.

a)    Oblicz dla kilku wyrazów tego ciągu, ile wynosi różnica \a„-g\.

b)    Znajdź taki wyraz aj-, że wszystkie wyrazy następujące po nim różnią się od granicy ciągu o mniej niż

Ciąg, który ma granicę, nazywamy ciągiem zbieżnym.

Ciąg, który nie ma granicy, nazywamy ciągiem rozbieżnym. Poniżej podajemy przykłady czterech ciągów rozbieżnych.

(-1)"	■ (^1+ h)	&n
^Łł- -	-li, li,...	i		•	•	•	•	.	.

Ten ciąg nie ma granicy, gdyż nieskończenie wiele wyrazów leży dowolnie blisko liczby 1, ale również nieskończenie wiele wyrazów leży dowolnie blisko liczby -1. Jest to ciąg rozbieżny.

b_n = _v n

1, V2, V3, 2, ...

Prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (poza czterema początkowymi) są większe od 2. Prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (poza dwudziestoma pięcioma początkowymi) są także większe od 5.

b„

M

Ogólnie dla dowolnie dużej liczby M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (poza skończoną liczbą początkowych) są większe od M. O ciągach, które mają tę własność, mówimy, że są rozbieżne do +oo. Możemy więc zapisać równość:

lim Jn = +oo

n—co