104(1)

491.

493*

i e°'sin bxdx ln xdx

J

492*. f^^nXdx 494*. | arctgi 2x — J dx

(x+l)²-

§ 5. Całki funkcji zawierających trójmian kwadratowy:

Ax-\-B

r Ax+B    r Ax-\-B , r —-----

i, «=. _łr.., *■

Przy obliczaniu powyższych całek funkcji zawierających trójmian kwadratowy, czyli przy sprowadzaniu ich do wzorów podstawowych rachunku całkowego, trzeba najpierw' zapisać trójmian kwadratowy w postaci kanonicznej

ax^L-\-bx^Jrc = c |.v²+— .r

b c

x j-

a

= u

blM

w wyniku czego otrzymamy dwumian kwadratowy. Dalsze przekształcenia, sprowadzające całki tej postaci do wzorów podstawowych, będą wyjaśnione przy rozwiązywaniu poniższych zadań.

\

495. Obliczyć całki: »/ * *

³>J

:x?+4x-f-8 3x—2 x²+6x-f 9

2, *

dx

⁴⁾.f

2x²-3x+) 6xⁱ — lx^Zjr3x

1

dx

2x — 3x^L

Rozwiązanie: 1) Sprowadzając trójmian do postaci kanonicznej ¹ x²+4x j-8 — (oc-f-2)^{2 :} 4 oraz pisząc d(x 2) zamiast dx, a następnie całkując, otrzymujemy (po uwzględnieniu wzoru 8 dla u = x \-2, a = 2)

d(x~-2) J__arctę (x+2)²+4    2 ^g 2 ⁺

/ x*+4*+8    /

2) Po sprowadzeniu trójmian u do postaci kanonicznej

P

Z

2ż?-3x+l =2 hr

= 2

dokonujemy zamiany zmiennej całkowania x, biorąc x — -^ = t.

Otrzymamy wtedy dx = dt oraz

f (7—8x)dx _ 1 r 1-81    '

16

J 2x~—3x-f-l 2 J *2__l__

Następnie przedstawiamy całkę jako sumę dwóch całek (biorąc pod uwagę, że licznik jest sumą dwu składników) i obliczamy je z podstawowych wzorów na całkowanie

dt

fi- ¹

16

2 f	2 tdt	^1 1 ln	<1 lt* 1
^J fi	1 16	p 1 in ^2 2' T	*+T
—2 ln	{2 ^1	+ c
	' 16

=ł/

(przy obliczaniu pierwszej całki korzystamy ze wzoru 9, dla u = t, a = -i, a przy obliczaniu drugiej — ze wzoru 2, dla u = t²—. Wracając do zmiennej x otrzymujemy ostatecznie

/ = ln

jc—1 x—0,5

—2 lnj X²—l,5x+0,5|4- C

3) Sprowadzamy trójmian do postaci kanonicznej x²+6x |-9 = (x+3)% wprowadzamy nową zmienną t = x-f-3, wtedy dx = dt, icałkujemy

r (3x-2)dx    r 31-11 „    f / 3.    11 \,

J x²+6x+9    J fi ^dt J \ t    fi)^dt~

= ³ j ~-U | t~²dt = 3ln /j +llr^, + C = 31n!x+3| + -^- +C

4) Dzieląc najpierw licznik przez mianownik wyłączamy część całkowitą ułamka niewłaściwego

x— 1

= -2x+l+-

6x³— 7x²-f-3x—1

2x-3x²    ^ ¹ * ^r 2x-3x²

a następnie całkujemy z osobna każdy składnik

/ _ f 6x³-7x²-j-3x-l    f , , f , , r (x-l)dx

J    2x — 3x²    dx ~ ~²J ^xdx + J ^dx+J 2x-3lfi " ~

= -**+*+/,

14*

211