5851989574

11.5. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granice: ln sin ^x

a) lim

ln(2* + l)

' x^i X⁵ - 5x + 4 ' g) lim xlnx;

j) lim (cos a:) * ;

b) lim —--

x—l lnx

e) lim 7 ' z-0 li

h) lim_(7r-x)tg|;

c) lim

ncosx

' x—*o ln cos3x’

k) lim (— arctgxl

f) lim xarcctgx; i) lim — ctgx^ I) lim (l+x)^ln*.

Lista 12

12.1. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji a) f(x) =x³ - 30x² + 225x;

^d) /(X) = 3^^; g) f(x) = x ln² x;

12.2*. Uzasadnić tożsamości:

a) arctgx + arcctgx = ^ dla x € R;

c) arctgx = y — arctg—— dla x e (—l,oo);

b) f(x) = y - y - x^2;	c) /(x) = 4x+ -;
e) /(x)=x-34S;	f) /(x) = xe^-3x;
^h> ^> = 1^

d) arcsin x = arctg -

dla x € (—1,1).

12.3.    Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji:

a) f(x) = x³ - 4x²;    b)/(x)=x + ^;

⁼    e) /(*)=« -vS;

g) /(x) = xlnx;    h) /(x) = \/3x — x³;

12.4.    Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach:

a) u(x) = 2x³ — 15x² + 36x, [1,5];    b) v(x) = arctg7——, [0,1];

1 + x

d) z(x) = 1 - |9 - x²|, [-5,1];

f)%)-2_sms + sin2i, [o,|J.

c) w(x) = (x - 3)²e^|x|, [-1,4]; ^e) 9(^x) — ^x ~ 2\/x, [0,5];

Lista 13

2x² — 1

c) f(x) = - ^ f) f(x) = |x² - 5x- 6|; i) f(x) = 2arctgx — ln (l + x²).

13.1. a) Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu 10 km od brzegu. Ropa z tej platformy będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 16 km od punktu brzegu najbliższego platformie. Koszt ułożenia 1 km rurociągu na dnie morza wynosi 200 000 euro, a na lądzie - 100 000 euro. Do którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy byl najmniejszy?

b) Jaka powinna być miara kąta a przy wierzchołku trójkąta równoramiennego o danym polu, aby promień koła r wpisanego w ten trójkąt był największy?