19180 zadania matematyka (1)

5

Zadanie 31. Przy pomocy reguł de L’Hospitala obliczyć granicę

5

a)

b)

c)

d)

e)

lim

Ina:

i x — cos(27rx)

.. a: —sina:

lim-,

o x sm a:

lim (Ina:)*,

x—>oo ^v    '

.. xlnx lim —

x—»oo x

+ 1’

lim

x³ + 2

-2x³ + ln(x² + 1) ’

g)    lim

x-+-oo \x + 1/

_{h) ]im}(J— ’ ■Y

®-o \sina:    sm2x/

i)    lim(6 — x)*^rs,

sc—+5

j)    Hm fi)*.

x-*oo \x J

Zadanie 32. Wykazać, że następujące funkcje nie mają ekstremów lokalnych

a) E 3 x »-» /(x) := x³ + 6x + 5,    c) (0, +oo) 9ih /(x) := x² — 2x + lnx,

b) K3xH f(x) := 2x + arctgx,    d) (-oo, 2) 3 x    f(x) := ——.

x — 2

Zadanie 33. Wyznaczyć ekstrema lokalne następujących funkcji

a)    /(x) := 2x³ + 3x² - 36x - 1,

b)    Ibdh f{x) := (x + 2)²(x - l)³,

c)    (0,27r) 3 x

d)    E 3 x

/(x) := sinx + < x² - 5x + 6 ^/(x):=    ^ + i ■

Zadanie 34. Obliczyć najmniejszą i największą wartość następujących funkcji

a)    [—2,2] 3xh+ f(x) := 5 + 2x² — x⁴,

b)    [l,e] 3 x i—► f(x) := x - 21nx.

Zadanie 35. Suma dwóch liczb równa jest 6. Wyznaczyć te liczby, jeśli wiadomo, że suma podwojonego kwadratu jednej z nich i kwadratu drugiej jest najmniejsza z możliwych.

Zadanie 36. Liczbę 7 dzielimy na trzy części tak aby pierwsza była dwa razy większa od drugiej. Jak należy dokonać podziału, aby suma kwadratów wszystkich trzech części była najmniejsza?

Zadanie 37. Na prostej o równaniu x — y — 4 = 0 wyznaczyć punkt P, którego kwadrat odległości od punktu A := (1,1) jest najmniejszy.

Zadanie 38. Pień w kształcie walca o przekroju kołowym ma średnicę d. Jak obciąć pień, aby otrzymać belkę o przekroju prostokąta, która ma największą wytrzymałość (wytrzymałość takiej belki jest proporcjonalna do iloczynu ah², gdzie a oznacza długość podstawy przekroju belki, zaś h jego wysokość)?

Zadanie 39. Jakie powinny być wymiary szklanki o grubości ścianek d := 2mm i pojemności V := 0.2dm³, aby ilość szkła potrzebnego do jej wytworzenia była najmniejsza?

Zadanie 40. Przy pomocy twierdzenia o wartości średniej wykazać następujące nierówności

_x d — b . a a — b

a)    -< ln - < ——, dla 0 < b < a,

a    b b    ^

b) | tg x tg y\ >\x-y\, dla 0 <y<x<~.

Zadanie 41. Zbadać przebieg zmienności funkcji

2x²

a) E3xh /(x) := x³ -1- x² — 16x — 16,

b) E \ {—2,2} 3 x i-> /(x) :=

c)    E3xh /(x) := x²(x² - 4)

d)    E \ (-1,1} 3 x H+ f (x) := -

e)    E3xh /(x) := x²e ^x>

f)    E \ (-1, l)3x^ /(x) := Vx² — 1,

g)    E \ {0} 3 x >-> /(x) :=

x_1 i

h)    E \ {0} 3xh /(x) :=-e^-*,

x