liczby Z
4

f

9J. Pierwiastkowanie liczb    ______

pierwiastki stopnia drufęieeo » i- ,

^{h g}° ² I,czby zespolonej

Ponieważ pierwiastki stopnia drugiej ₂ i. ,

«ę «• ^,,asz-^vch rozważaniach, poświęcam! ^{by zes}P^{1 2}°nej beda _Cze«f

_ZI1ana jest postać trygonometryczna £* ^ «^agi. _Pr2J_e

* znakiem liczby „ i    ^ ^stopnia drugi^^fc+^ny,).

^{Jy z S}Q rozmącę

wo, w i - pierwiastki stopnia drugiego z liczby zespolonej z

^Wo = \ZR(c° s(v/2)Miy_sin(v}/2))

W-’1 = \/N(^cos(¥³/2 + 7r) + jsiu(<p/2 + 7r)) = -tu₀.

Przykład 32. Pierwiastkami stopnia drugiego z liczby -25 = 25(cos n+j sin 7r) są liczby

ic₀ = V^/25 (cos — + j sin — ^ = 5j i wi = \/25 ^cos ^7r + j sin ^77^ = —5j. Podobnie pierwiastkami stopnia drugiego z liczby 4j = 4(cos |+j sin |) są liczby

±2 (^cos^ + jsin^) = ±(\/2+j\/2).

Przy rozwiązywaniu równań kwadratowych zwykle wyznacza się pierwiastki stopnia drugiego z liczby zespolonej zapisanej w postaci kanonicznej. Zauważmy, że liczba w — x + jy jest pierwiastkiem stopnia drugiego z liczby zespolonej ^z — a (S^zie ^a> b, x, y £ R) wtedy i tylko wtedy, gdy w⁴ = z, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy

(x + jy)⁴ = x⁴ - y⁴ + 2xyj = a + jb.    (2.31)

Równanie to jest równoważne układowi równań

x⁴-y⁴ = a,    _{(2 32)}

2 xy = 6,

z którego łatwo można wyznaczyć liczby x i y (i dlatego także otrzymać liczbę w = x + jy).

1

Przykład 33. Obliczyć pierwiastki stopnia drugiego z liczby 9    40j.

Niech x + jy (gdzie x, y 6 R) będzie pierwiastkiem stopnia drugiego z liczby 9 - 40j. Wtedy

(s + jy)⁴ = X⁴ - y + 2xyj = 9 - 40j

2

dlatego x> -    = 9, XV = -20 i *V = 400. Otrzymane X pierwszego z tych równań

3

Stąd zaś y⁴ = 16 i dlatego

V = ±4 i x--?-TS.

4

X⁴ = y⁴ + 9 podstawiamy do trzeciego równania i otrzymujemy

_y⁵ ₊ 9y⁴ - 400 = 0.

5

Zatem pierwiastkami stopnia drugiego z liczby 9 - 40; s, liczb, 5 - 4j oraz -5 + 4;.