3226794621

Przykład

Obliczyć w zbiorze liczb rzeczywistych wartości własne i wektory własne nieosobliwej 1    2 -3

oraz jej macierz odwrotną (A ^!) i czwartą potęgę (A¹).

macierzy A = Rozwiązanie:

2 1 -2 2 -1 0

1-A 2    -3

A>. = A — A • E =    2    1 — A -2

2    -1    0 — A

1 — A 2    -3

2    1 — A —2

2    -1    0 — A

det A_;. = W(A) =

= ... = _/3_+2A2__A+2 = ... = -),(X² + l)(k-2)

Rozwiązujemy równanie charakterystyczne macierzy A (tz.n. szukamy niezerowych pierwiastków):

detA, = 0 O - A-(A-2)- (A² + 1) =0

— A = 0 A! = 0

- otrzymujemy pierwiastek zerowy, którego nie bierzemy pod uwagę

v    A — 2 = 0    v

v    A_z = 2    v

- otrzymujemy pierwiastek rzeczywisty - liczbę 2

A² + 1 = 0 A3 = brak

- brak pierwiastków rzeczywistych, ale istnieją pierw iastki zespolone, które należy policzyć, gdy szukamy rozwiązań w zbiorze liczb zespolonych

Macierz A posiada w zbiorze licz rzeczywistych tylko jedną wartość własną wynoszącą:    A = 2

Poszukujemy wektorów własnych macierzy A dla obliczonych wartości własnych (A), rozwiązując odpowiedni nieoznaczony układ równali (patrz. str. 76): A^ - X = 0 <«> W( A) • X = 0.

- dla A = 2 mamy:

1-2 2 -3		-1 2 -3		-1 2 -3		*r		0
2 1-2-2	=	2 -1 -2	•=>	2 -1 -2	•	*2	=	0
2 -1 0-2		2 -1 -2		2 -1 -2		.*3.		.0.

															7*3		^71
-12 -3	o		1	0	-7/3	o		1	o	7/3	0		*1		3		3
2 -1 -2	o	-v §m	0	1	-8/3	o		0	1	8/3	0	■=> X =	*2	=	8*3	= t	8
2 -1 -2	o		0	0	o	o		0	0	0	0		*3		3		3
															*3		1J

Wyznaczamy macierz odwrotną macierzy A. wykorzystując twierdzenie Cayleya i Hamiltona: W(A) = A (A² + 1) (A — 2) = -A³ + 2A² - A + 2 O W(A) = -A³ + 2A² - A + 2 = 0

A^-1 =    [ (-1)³ - A^3-1 + 2-A^3-2 — 1 • E ] = -■ (A² — 2A+ E)

Z    Z

^1 (	1 2-3	2	1 2 -3		1 0 0 '	>		-1 1,5 -0,5
^k-A	2 1 -2 2-10	-2	2 1 -2 2-10	+	0 1 0 0 0 1 J	)	I ■=> A^-1 =	-2 2 -2 -2 2,5 -1,5

Obliczamy czwartą potęgę macierzy A:

W(A) = 0 O — A³ + 2A² — A + 2 = 0 O A³ = 2A²-A + 2

A⁴ = A³-A = 2A³ - A² +2A = 2 • (2A² — A + 2) — A² + 2A = 4A² — 2A + 4 - A² + 2A

A^4 = 3A^2 + 4=3	1    2 -3 2    1 -2	2 + 4	1 0 0 0 1 0	•0 > II	1 21 -21 0 25 -24
	2 -1 0		0 0 1		0 9-8

-68-

w w w\ ma tern atyka. sosno wiec.p l

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk