KIF35

201. Wśród relacji określonych w zbiorze liczb rzeczywistych przez podane niżej wzory wskaż relacje jednoznaczne, odwrotnie jednoznaczne i wzajemnie jednoznaczne.

(a)    <x. y) eRsx< y.

(b)    <*. y> € Rsx=y.

(c)    (x,y>eR3x=2y.

(d)    (x y) eRxy~2x.

(c) (x, y> e R ■ >•»*+2.

(6 <-T. y) e R=y~x*.

Ut) <x,y)eR3j-=*x*+2.

(h)    <x.y>e Rax=2y^a.

(i)    <jr.y>eR=.t+y=*0.

(j)    (x. y} e Rsx • y=0.

202.    Wskaż relacje jednoznaczne, odwrotnie jednoznaczne i wzajemnie jednoznaczne wśród podanych niżej relacji.

(a)    Relacja ojcostwa.

(b)    Relacja, która zachodzi miedzy x i y zawsze i tylko wtedy, gdy y jest ojcem x.

(c)    Relacja bycia dziadkiem.

(d)    Relacja, która zachodzi między x i y zawsze i tylko wtedy, gdy y jest dziadkiem x.

(e)    Relacja bycia bratem.

(0 Relacja bycia najstarszym bratem.

(g)    Relacja bycia bliźniakiem.

(h)    Relacja bycia żoną (w małżeństwie monogamic/nym).

203.    Niech A będzie zbiorem cztcroclementowym:

(<»,. «a. oj. o*)

Podaj przykład określonej w zbiorze A relacji:

(a) jednoznacznej, ale nie odwrotnie jednoznacznej.

(b)    odwrotnie jednoznacznej, ale nic jednoznacznej,

(c)    wzajemnie jednoznacznej.

2<W. Relacja wieloznaczna określona w dan>m zbiorze może stać się jednoznaczna, odwrotnie jednoznaczna, a nawet wzajemnie jednoznaczna po ograniczeniu jej do pewnego podzbioru tego zbioru. Na przykład, relacja bycia rodzicem ograniczona do zbioru mężczyzn jest odwrotnie jednoznaczna, a ograniczona do zbioru ojców jedynaków — wzajemnie jednoznaczna.

(a)    W jakim zbiorze liczb relacja bycia kwadratem jest wzajemnie jednoznaczna?    *

(b)    Podaj dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji¹* bycia dwu-krotnością ograniczonej do zbioru pierwszych dziesięciu liczb naturalnych.

205. Jeśli relacja R jest funkcją oraz D(R) - A i D(R) c B. to mówimy, że R odwzorowuje (lub: przekształca) zbiór A w zbiór B. Jeżeli nadto B c Z>(/?) (tj. Z> (/?) =B). mówimy, że R odwzorowuje (przekształca) zbiór A na zbiór B. Na przykład. relacja bycia żoną przekształca zbiór mężatek w zbiór mężczyzn, a zarazem na zbiór mężczyzn żonatych.

Niech: A={ł, 3, 5}. £={2.4, 6}, C={1, 2).

Podaj przykład:

(a)    Funkcji, która przekształca zbiór A w zbiór B, lecz nie na zbiór B.

(b) Funkcji, która przekształca zbiór A na zbiór C.

(c) Funkcji, która przekształca zbiór A w zbiór B, i której konwers przekształca zbiór B w zbiór A.

" Jeśli R jest funkcją (relacją jednoznaczną). <o D(R) nazywamy zbiorem jej argumentów, zaś &(Rj — zbiorem jej mtrtoici. Jeśli argumentowi a funkcja R przyporządkowuje wartość b (tj. jeśti 6> c gj, to mówimy, że b jest wartością funkcji R dla argumentu a. i zapisujemy to w postaci: R(a)-b (używając często, zwłaszcza w matematyce, litery F lub / zamiast R).

125