KIF39

rzeczywiiiych przez podane niżej równania³’:

(a)    Ą(x) ¹3x+5

(b)    R_i(x)=’X^t~2

(c)    RJ(x)² ~2x-l

(d)

227. Niech R_lt R,, /?j będą relacjami jednoznacznymi określonymi w zbiorze liczb rzeczywistych przez podane niżej równania:

R_l(x)-x+ I

*Ax)-x-3 W-2x.

Określ za pomocą równań następujące relacje:

(¹) /?,⁰ R,    (g)    R^{1 c}    Ą

(b) R,•    (h)    /?₃ «    /?,

<c)V4    0)    A¹°X»

(d) R,⁵ J?i    G)

<e) U.-/8,    W    4

(0V¹.    0)/?3°(^°^)

228. Obrazem zbioru A wedle relacji R (symbolicznie: /?(/<)) nazywamy zbiór przedmiotów, do których elementy zbioru A pozostają w relacji R:

y € R(A) a \J x[x e A a <at, j> € /f].

Na przykład, obrazem zbioru pisarzy wedle relacji bycia autorem jest zbiór utworów literackich.

Wikaż obraz zbioru A wedle relacji R, gdy:

(a)    A ---zbiór sportowców, /?« relacja bycia żoną;

(b)    A = zbiór studentów, R-relacja bycia dzieckiem;

(c)    A =zbiór robotników, /{-relacja bycia rodzicem;

(d)    A = zbiór pierwszych dziesięciu liczb naturalnych, /{-relacja bycia kwadratem;

(c) A = zbiór pierwszych dziesięciu liczb natmalnych.

R = relacja bycia dwukrotnością.

229.    Niech:

/<=zbiór filozofów,

/{=«Kant, Hegel), <Kant. Bismarck), <Bismarck, Kant) (Sartre, Napoleon), <Sanre. Marks)).

Wskaż zbiór:

(a)    R(A),

(b)    S(/t).

230.    Dowiedź w oparciu o odpowKdnie definicje następujących twierdzeń rachunku zbiorów i relacji:

(a)    *(/<) c= D(R)

(b)    D(fl) = /?(/>(*))

(c)    R(AuB)=R(A)vR(B)

(d)    R(AnB) <z R(A)nR(B)

(c) R(A)-R(B) <= R(A -B)

(f) A <= B->R{A) e R(B)

231.    Wykaż za pomocą kontrprzykładów, że podane niżej wyrażenia nie sn twierdzeniami rachunku zbiorów i relacji.

(a)    R(AnB)=R(A)nR(B)

(b)    R(A~B)-R(A)-R(B)

(c)    A $ B->R(A) & R(B)

(d)    A X B-+R(A) X R(B)

133

1

Funkcje, których k on wersy są również funkcjami (a ¹w rd¹c<

2

wzajemnie jednozsaczne), nazywamy funkcjami rólno^artoMoiym! U> odwracalnymi. Funkęję, która jest konwersem danej funkcji. oixywt) funkcją odwrotną do danej.