3582320367

Algebra-Zestaw 1 Grupy I

1.    Czy mnożenie liczb jest działaniem w zbiorze liczb niewymiernych?

2.    Czy działanie © określone w zbiorze liczb R wzorem a® b — b + a — 3 jest przemienne i łączne, czy ma element neutralny?

3.    Obliczyć liczbę działań przemiennych w zbiorze n-elementowym.

4.    Obliczyć liczbę takich działań w zbiorze n-elementowym, które mają element neutralny.

5.    Obliczyć liczbę takich działań przemiennych w zbiorze n-elementowym, które mają element neutralny.

6.    Sprawdzić, czy zbiór R₊ U {0} wraz z działaniem a o b — y/ab tworzy grupę abelową.

7.    Niech A — {2^a:+C1,5, a: G Q} oraz niech • oznacza mnożenie liczb. Czy struktura (A, •) jest grupą?

8.    Niech D będzie zbiorem całkowitych potęg liczby 2. Udowodnij, że struktura (D, o), gdzie działanie o jest określone następująco: x o y = njp, jest grupą.

9. Wykaż, że w dowolnej grupie G dla dowolnych a, 6, c G ć? prawdą jest, że

ac=bc=> a = b

10. Czy poniższą tabelkę można uzupełnić tak, by trój elementowy zbiór {a, 6, c} z działaniem o określonym otrzymaną tabelką był grupą?

o	a	b	c
a	b	a
b	a	b	c
c		c

o	a	b	c
a		a	b
b	a	b	c
c		c

11.    Udowodnij, że jeśli rząd grupy (G, •) jest parzysty, to istnieje taki element a G G, a e, że o • a = e.

12.    Znajdź wszystkie grupy o czterech elementach (z dokładnością do izomorfizmu).

13.    Wypisz wszystkie elementy grupy (ć>₃, o).

14.    Dane permutacje cr, 7r G <Sg przedstaw w postaci iloczynu cykli rozłącznych. Oblicz złożenia ttoct, a o tt, tt on, cr o cr oraz 7r^_1, cr^-1.

1

05.10.2011