3582334066

Algebra-Zestaw 2 Grupy II

1.    Oblicz NWD(344,65), NWD(615,290).

2.    Wypisz wszystkie elementy grup Z₇, Zf, Z₈, Z*.

3.    Wykorzystując algorytm euklidesa znajdź element odwrotny do 7 w Z_3J oraz Zj37.

4.    Udowodnij, że 5n + 3 i 7n + 4 są względnie pierwsze dla dowolnego n.

5.    Niech D„ oznacza zbiór wszystkich izomet rii własnych n-kąta foremnego F na płaszczyźnie (n > 3).

(a)    Sprawdzić, że zbiór D_n tworzy grupę względem składania odwzorowań.

(b)    Sprawdzić, że D_n tworzy podgrupę grupy S_n.

(c)    Czy D_n jest grupą cykliczną?

(d)    Jaki jest rząd grupy D„?

(e)    Niech r?-kąt foremny F będzie umieszczony w prostokątnym układzie

współrzędnych na płaszczyźnie w ten sposób, że jego środek pokrywa się z początkiem układu O oraz jeden z jego wierzchołków leży na dodatniej półosi Ox. Wykazać, że wtedy D„ = {id, a, a²,..., a"^-1, b, ba-----,6a^n_ł}, gdzie a jest obrotem płaszczyzny wokół punktu O

o kąt ^ w kierunku dodatnim, natomiast b jest symetrią względem osi Ox.

(f)    Sprawdzić, że aⁿ = id oraz b² = id.

(g)    Którą spośród izometrii {id,«, «²,..., o"^-1,6. ba.....6a^n_1} jest

ab i ogólniej a^kb. gdzie A; € {0.1,, n}?

(h)    Zbudować tabelkę mnożenia grupy £>3.

(i)    Zbudować tabelkę mnożenia grupy D\ .

(j)    Znaleźć izomorfizm grup (Z_n, +) i (O_n, o), gdzie O_n grupa obrotów n-kąta foremnego F na płaszczyźnie (O_n = {id,a,a²,...,a^n-1}).

1

12.10.2011