60601

ad a)

Do zestawienia równań obserwacyjnych obliczmy przybliżone wysokości rep er ów wyznaczanych:

Z? * Z_B + h, «* 203 IW m. Z$ - Z_A ♦ h, ■ 202959 m. ZJ * Z„ - h, * 201 273 m.

Uzgodnione (wyrównane) wysokości punktów obliczymy według zależności:

Ż - Z° + dZ

gdzie dZ - wektor niewiadomych

Równanie obserwacyjne (obserwacje zapisujemy jako funkcje niewiadomych) np. dla przewyższenia h_; ma postać:

h₂ = Żj - Ż,

czyli

h₂ =Z| + dZ₂-(Z° +dZ,)

co po przekształceniu (na jedną stronę znaku = przenosimy niewiadome, na drugą wartości, które możemy obliczyć) możemy zapisać

-dZ, + dz₂ *h₂ -(Zj -Z“)

Oznaczmy

zS-Zf-h?

(h₂ -przewyższenie przybliżone), stąd

-dZ| + dZ₂ ■ h®

Współczynniki, które stoją przy niewiadomych tworzą macierz współczynników A. Wyrazy wolne równań obserwacyjnych są to różnice pomiędzy zaobserwowanymi przewyższeniami h, a przewyższeniami przybliżonymi h° (obliczonymi na podstawie przybliżonych wysokości), czyli i Obliczmy przybliżone przewyższenia:

hf	-	zf -	ZB	■	0.756 m
h|	-	Zf -	z;	=	- 0235 m
hi	-	Zf -	Za	as	- 0321 m
hS	■	Z? -	z?	■	0 686 ni
h?	«	Zb -	zś	=	-0165 m

Zestawiamy wszystkie równania obserwacyjne. Jeżeli w danym równaniu nic występuje któraś z niewiadomych, oznacza to. współczynnik dla niej jest równy zero. Wyrazy wolne najwygodniej jest podawać w jednostkach, które odpowiadają dokładności pomiarów. W tym przypadku spodziewamy się dokładności rzędu mm, stąd wyrazy wolne podajmy w [mm].

dZ,		0	+	0	■	0
-dZ,	■f	dZ,	+	0	a	-8
0	+	dZ,	+	0	-	0
0	-	*Zl	+	dZ,	m	4
0	♦	0	-	dZ3	m	0

Powyższy układ równali obserwacyjnych zapiszmy w postaci macierzy

1	0	0				o'		V
-1	1	0		dZ,		-8		5;
0	1	0	x -	dZ:	L =	0	8 =	3,
0	-1	1		dZj		4		3,
0	0	-1				0		3,

w formie Ax = L+v .

Rozwiązując powyższy układ równań metodą najmniejszych kwadratów, tzn. x»|a^ta) ' a^tl otrzymuje się:

A^tA =	2 -1 0 -1 3 -1	det |a^ta| = 8 » (A^TA) = —	5 2 1 2 4 2
	0-12	^8	1 2 5

5	-3	2	-1 -1		25
2	■»	4	_ 2 - 2	=> i ■ (A^TA) A^tL -	-3.0
1	1	2	3 -5		05