3582324351

Zestaw 2

1.    Zbadać, czy (R \ {0} , *) jest grupą, jeśli Va, 6eR\ {0}: a * b = —.

Z

2.    Znaleźć a, b £ R takie, że

(a) a (2 + 3ś) + b (4 — 5ś) = 6 — 2i,

^ 2 — 3i ⁺ 3 + 2i ~ ’

(c) (3 — i) a² — (3 4- 2i) a — (1 — i) 6 = 13 — lOi

3.    Udowodnić, że:

(a) Vzi, Z2 £ C:    \zi ■ zi\ \zi\ ■ \zz\ oraz arg (zi ■ z2) — Bxgzi + arg^2,

£ł

Z2

(b) Vzi, z₂ GC, z₂ 0:

\zi\    Zi

\—7 oraz arg— — argzi — arg^₂, 12^21    Z2

(c) 'iz £ C, Vn £ N : \zⁿ\ — \z\ⁿ oraz arg,zⁿ = n arg^,

(d)    V*i, Z2 £C: zi + Z2 = zi 4- Z2,

(e)    Vz £ C : |z| = \z\.

4. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z, dla których wyrażenie (a) liczbą czysto rzeczywistą,

1 + z

1 — z

(b) liczbą czysto urojoną,

jest:

5. Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiory:

z — 5

(a)    .4={

(b)    B={

Z£C

z- 1

7r

-+

z £ C : — < argz < 4

2tt1 3 /’

(c) C = {z £ C : re (z²) = 2 A im (z + i)² = l},

(d) £> = {

77T

z £ C : 1 < z + 2 + 2ś < 2 A — < argz

o

6.    Podać postać trygonometryczna liczb zespolonych:

(a) — 1 + \/3i,    (b) 1 — i, (c) 1 4- cos | 4- i sin

(d) VG + a/2-(a/6 - a/2) i, (e) V^/2W2 - y/2 -y/2i,    (f) -i

,10

7.    Mając dane liczby: z\ — —\/Z — i, Z2 = 4 — -\/48i, 23 = — 2 4- 2i wykonać działania:

(a) z₁- z₂- z_z, (b) z\ ■ zf, (c)

1

4°