ALiG Zestaw 2

Zestaw 2

1.    Sprawdzić czy następujące struktury tworzą grupę;

a)({o}.+)    b)({l},.)    c) ({—1,1 },•) d) ({0,1,2},+)

2.    W zbiorze A = {(a,b);a e R\ {6} a b e R} określamy w następujący sposób (a_t,b_l)o(a_J>b₂) = (a_la₂,a₂b₁ + b₂):

a)    wykazać, że ( A,° ) jest grupą

b)    wykazać, że A'= {(a, b)e A; b = 0 } to grupa (A', °) jest izomorficzna z grupą

(R\ (o},»)

3.    W zbiorze L funkcji postaci y = ax+ b (a * 0) określono działanie (f°g)(x) = f(g(x)). Czy (L,o) jest grupą?

4.    W R² wprowadzamy działania (x₁,y₁)©(x₂,y₂) = (x, + x₂ ,y, + y₂)

(.Y_l,y,)o(x₂,y2) = (^xi^x2 + py₁y₂,Xiy₂ + x₂y₁).

Dla jakich p e R struktura ( R², ©, O ) jest ciałem.

5 Niech A = (0,1}. W zbiorze A określamy działanie © przyjmując 0 © 0 - 0,

0 © 1 = 1 © 0=1, i © 1 = 1 oraz działanie o przyjmując 0 O 0 =1 o0 = 0o 1 =0, 1 O 1 = 1.

Wykazać, że (A , © , O) jest ciałem.

6.    Niech A = |x+ y-JŻ; y € c). Wykazać, że odwzorowanie f: u »x+ y V? —>u = x- y J3

jest autonwrfizrnem struktury (A, + , *).

7.    Udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych z działaniami a©b= a+ b+1, a O b — a+ b+ ab jest ciałem izomorficznym z ciałem liczb rzeczywistych.

8.    Wskazać izomorfizm ciał (A, o, o)i(R, + ,*) gdy aob=a + b + 4, aob=ab +4a + 4b+12

9 Znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego x² + 3x-f-4 w ciele: a) liczb rzeczywistych, b) liczb zespolonych, c) modulo 5 d) modulo 7 e) modulo 11.