3582320377

Zestaw 10 Piercienie

1. Sprawdzić, że dany zbiór funkcji, względem zwykłego dodawania i mnożenia tworzy pierścień. Gzy pierścień ma jedynkę?

(a)    {/ £ C[a, b] : /(o) = f(b)}

(b)    {/G CM :/(a) € 0}

(c)    {/ G C{a, oo) : lim,.** f(x) - 0}

(d)    {/ £ (7(a, oo) : Va £ N/(n) = 0}

2.    Czy (j?[ar], -f, o) jest pierścieniem?

3.    W zbiorze M² wprowadzamy działania: (x\, yi)@{x₂, y₂) — (xi^Jrx₂, yi+ V2), (®1, yi) © (x₂, V2) = (xj.X2 + pym, Xiy₂ + x₂yi). Dla jakich p £ R struktura (IR², ©, ©) jest ciałem?

4.    Udowodnić, że jeśli A jest niezerowym pierścieniem z 1, to 1 / 0.

5.    Wyznaczyć elementy odwracalne oraz dzielniki zera w Z$.

6.    Udowodnić, że zbiór elementów odwracalnych U (A) pierścienie A z jedynką tworzy grupę.

?. Wykazać, że jeśli a² jest dzielnikiem zera, to a jest dzielnikiem zera, to a jest dzielnikiem zera.

8.    Udowodnić, że żaden element odwracalny pierścienia z jedynką nie jest dzielnikiem zera.

9.    Wykazać, że jeśli A jest pierścieniem skończonym i bez dzielników zera, to A ma jedynkę i dla każdego a^O istnieje element odwrotny.

10.    Niech A będzie pierścieniem z jedynką. Udowodnić, że jeśli ab oraz ba są odwracalne, to o, b są odwracalne.

11.    Niech A będzie pierścieniem z jedynką i bez dzielników zera. Udowodnić, że jeśli ab jest odwracalne, to a, b są odwracalne.

12.    Jeśli A jest skończonym pierścieniem z jedynką i dla a £ A istnieje b £ A taki, że ba = 1, to a jest odwracalny.

13.    Udowodnić, że skończony pierścień całkowity jest ciałem.

14.    Zbadać, czy dany zbiór B jest podpierścieniem pierścienia (C[0,1], +, •)

(a) B = {/GC[0,2]:/(2) = /(0)}

1