321 2

Równania różniczkowe 8.1. Podstawy teoretyczne

8.1.1, Zagadnienia początkowe dla równań róż»iczkowych zwyczajnych

Rozważmy najpierw następujące zadanie: Dla danej funkcji f(x, y) znaleźć funkcję y{x), która dla a^x^b jest rozwiązaniem przybliżonym równania różniczkowego zwyczajnego

(8.1.1)    — =f(x,y) z warunkiem początkowym y(a) = c.

A v

W wykładach z matematyki wyjaśnia się, jak dla niektórych funkcji/rozwiązać to zadanie dokładnie. W ważnym szczególnym przypadku / jest funkcją liniową zmiennej y. Dla większości równań różniczkowych trzeba jednak zadowolić się rozwiązaniem przybliżonym.

Wiele zagadnień naukowych i technicznych prowadzi do równań różniczkowych. Zmienna x oznacza często czas, a równanie różniczkowe wyraża prawo fizyczne określające zmiany badanego układu. Zmienna x może być też jednak współrzędną przestrzenną, łedno równanie rzędu pierwszego otrzymuje się rzadko. Znacznie częściej powstaje układ 'oclu równań różniczkowych rzędu pierwszego z wieloma funkcjami niewiadomymi (często i*st ich ponad dziesięć) rj ,, jj₂ ,..., tj_s:

dtji

— «*&*,*,.**.....*,)    (*“1.2.....5).

^{7 Vaxuuka,}«‘ początkowymi

i    (i“l,2.....s).

Wv,

-godnie jest napisać ten układ w postaci wektorowej. Przyjmując, że

'^1,2 » • • 7,)^t . c»(y_J. y₂.....y,)^T .    /=»(*>i, P₂.....fl>J^T,

^^Uje _s{ę

=/(x.y).    y(<*)=c

<^SU)    dy

dx

^r«*Kł>

nura«r_ycz[