Układy równań liniowych

4

Układy równań liniowych

Przykłady

Układy Cramera

• Przykład 4.1

Dla jakich wartości parametru p podane układy równań są układami Cramera:

x + 3y + 3z = px 3x + y 4- 3z = py ?

3x 4- 3 y + z = pz

a)

6p² x - 3 y 2 x - y

3 P . 7 ’

^b)

Rozwiązanie

Liniowy układ równań postaci AX = B jest układem Cramera, jeżeli macierz A tego układu jest macierzą kwadratową o wyznaczniku różnym od zera. a) W zapisie macierzowym rozważany układ ma postać

6p^2 -3'		X		' 3 p ‘
2 -1		^y		7

Wyznacznik macierzy tego układu jest równy

det A =

6p² -3 2 -1

= 6 (l — p²) .

Dany układ jest zatem układem Cramera dla p ^ -1 oraz p # 1. b) Zapisując rozważany układ macierzowo mamy

			• 0 '
	2/	=	0
	2		. 0 .

1 — p 3 3    1 -p

3    3

Dalej

	1 - p 3	3	3			-2 - p 0 2 -|-p
det>l =		1 - p	3	Wi ~ 't‘3 ■W‘2 — 3	=	0 -2-p2+p 3 3 1	*3 + (*i+fc2j
	3	3	1 - p

Przykłady

91

f 9x - Sy = 4 ^a> \ 7:r + 2y = 3 '

-2-p	0	0
0	-2 -p	0
3	3	7-

P

= (2 + p)²(7 - p).

Układ ten jest więc układem Cramera dla p ^ —2 oraz p ^ 7.

• Przykład 4.2

Korzystając ze wzoru Cramera znaleźć rozwiązania podanych układów równań:

{x + 2y — z = 1

3a: + 2/ + z = 2 x    — 5z = 0

Rozwiązanie

Jedyne rozwiązanie układu Cramera postaci AX = D z niewiadomymi an, xa, .... x_n wyraża się wzorem

det A i    det A2    det A_n

^Xl ~ ditT’ ^{X2 _} detT’'    ~ letT’

gdzie Ak oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie jej fc-tej kolumny przez kolumnę wyrazów wolnych B. a) Mamy

det A

9 -8 7 2

det .4i    16

zatem x -    , «/=

= 74, det j4i = det ,42

4 -8 3 2

= 32, det ,42 =

9 4 7 3

= -1,

det A 37’

_1_

74'

b) Tutaj

det ,4

det A —

1 2 -1		1 2 -1
3 1 1	= 28, det Ai =	2 1 1
1 0 -5		0 0 -5

= 15,

	1 1 -1		1 2 1
det A2 =	3 2 1	= 8, det A3 =	3 1 2
	1 0 -5		1 0 0
15	2	3

3.

28’

28'

* Przykład 4.3

Stosując wzór Cramera obliczyć niewiadomą x spełniającą układ równań:

12 + £ + y = 10 + j/ + z = 8 + z + u = 6 + u + w= 10:c + v = 15.

Rozwiązanie

Dany układ zapisujemy w postaci

f *	+ y - ^3		1	1	0	0	0 ‘		X		3 ‘
	y + z =5		0	1	1	0	0		y		5
	z + u —7	stąd	0	0	1	1	0		z	—	7
	u + v =9		0	0	0	1	1		U		9
O	+ v = 15		10	0	0	0	1		V		15