092 093 2

92 Programowanie liniowe

Chcąc ustalić, dla jakich wartości / otrzymana baza, w skład której wchodzą zmienne jc₅, x₂ i jc„ jest dopuszczalna, rozwiązujemy układ nierówności:

— 8 + 28/ >0,

1 + 0,5/2s0,

6-5/ >0.

Otrzymujemy rozwiązanie:

0.286 s$/=$ 1,2.

Dla /= 1,2 otrzymujemy tablicę simpleksową (tablica 1.43):

Tablica 1.43

cx —	max	2	3	0	0	0	1)
Baza	Cu	Jfi	Xl	Xy	*4	xs
*5	0	0	0	-4	4	1	25,6
^X2	3	0	1	-0,5	1	0	1,6
X,	2	I	0	1	-1	0	0
^cr		0	0	-0,5	-1	0	4.8

Zgodnie z. kryterium wyjścia dualnej metody simpleks z bazy usuwamy zmienną ;t| i na to miejsce wchodzi zmienna x₄. Otrzymujemy (tablica 1.44):

Tablica 1.44

T X	niax	2	3	0	0	0	b(/)
Baza	CB	x,	Xj		*4
*5	0	4	0	0	0	1	16 + 8/
Xj	3	1	1	0,5	0	0	7-4,5t
*4	0	-1	0	-1	1	0	-6 + 5f
^cr	-Z/	-1	0	-1,5	0	0	9-3,51

Aby określić, dla jakich wartości parametru / znaleziona baza jest dopuszczalna, rozwiązujemy układ nierówności:

16 + 8/3*0, 7-4,5/ > 0, -6 + 5/>0.

Otrzymujemy przedział 1,2 < t ^ 1,556. Podstawiając wartość t = 1,556, otrzymujemy tablicę simpleksową 1.45:

Tablica 1.45

cx —	max	2	3	0	0	0
Baza			•*2	*3	*4	*5
*5	0	4	0	0	0	i	28,444
*2	3	1	1	0.5	0	0	0
*4	0	-1	0	-1	t	0	1,778
cr	-*/	-1	0	-1.5	0	0	0

Zauważmy, że dla t > 1,556 zadanie jest sprzeczne, gdyż wówczas wartość zmiennej x₂ jest ujemna, a wartości wszystkich elementów drugiego równania w tablicy 1.41 są nieujemne.

Wracamy do wyjściowej wartości t_u = 0. Wiemy, że rozwiązanie dopuszczalne odpowiadające tej wartości ma tę własność dla - 2 < t < 0,286. Dla t - - 2 otrzymujemy następującą tablicę simpleksową 1.46:

Tablica 1.46

cx —	max	2	3	0	0	0
Baza			*2	•*3	*4
Xy	0	0	0	l	-1	-0,25	16
*2	3	0	1	0	0,5	-0,125	8
X\	2	1	0	0	0	0,25	0
cr	'•/	0	0	0	-1.5	-0,125	24

Jeśli t<~2, to zmienna x, jest ujemna, a ponadto w trzecim równaniu odpowiadającym tej zmiennej wszystkie elementy są nieujemne. Oznacza to ponownie, że zadanie jest sprzeczne.

Reasumując, podamy rozwiązania dopuszczalne¹² w zależności od wartości parametru t:

(I)    Dla t < - 2 zadanie jest sprzeczne.

(II)    Dla -2    / < 0,286 rozwiązanie jest postaci:

x, =4 + 2f, x₂ = 2-31, *,, = 2-7r, x₄ = 0, *₅ = 0.

12

Wszystkie podane rozwiązania są optymalne, co wynika z własności dualnej metody simpleks.