DSCN1086

4.41.    Dla jakich wartości parametru a układ równań

J x — by + oz² = 0 { 2bx + {b — 6)y — 8z = 8

ma co najmniej jedno rozwiązanie dla każdej wartości parametru b?

4.42.    Wyznaczyć zbiór tych wartości parametru a, dla których układ równań

f ax + (a - l)y = 2 + 4a l3|x| + 2y = a-5 ma dokładnie jedno rozwiązanie.

4.43.    Zbadać liczbę rozwiązań układu

f|x| + |y|=l l*² + y² = a

w zależności od parametru a.

4.44.    Wykazać, że jeśli układ równań

| ax² + by² =[

\px + qy= 1

ma rozwiązanie (x, y) będące parą liczb rzeczywistych, to ab^aq² + bp².

4.45.    Zbadać istnienie rozwiązań i podać liczbę rozwiązań układu

(kx + y + z = fl | + ky + z = b x + y + kz = c

w zależności od wartości parametrów a. b, c, k.

4.46. Dla jakich wartości parametrów a. b. A układ równań f ax² + 2Axy + by² = A {    x² + y² = 1,

ma co najmniej jedno rozwiązanie?

4.47. Dany jest zbiór A = {(x,y):xe_JR₊ i yeR} i układ równań

x^f- 1 x^y+ 1 x² + y² - b.

= a

Dla jakich wartości parametrów a, b dany układ ma, w danym zbiorze, dokładnie jedno rozwiązanie?

4.48. Dla jakich wartości parametru a zbiór rozwiązań układu

I

x² + (y - 2)² < 1 y = ax²

nie jest zbiorem pustym?

4.49.    Wykazać, że jeśli współczynniki a, b, c równania ax² + bx + c = 0 są liczbami wymiernymi takimi, że \a + c| = \b\, to równanie ma rozwiązania i rozwiązania te są liczbami wymiernymi.

4.50.    Dany jest wielomian W określony wzorem

W{x) = xⁿ + a_n _ x xⁿ~ ¹ + a„_₂ xⁿ~² + ... + a₂x² + a,x + a₀, którego współczynniki są liczbami naturalnymi dodatnimi. Wykazać, że jeśli liczby W(0) i W(l) są nieparzyste, to równanie W(x) = 0 nie ma rozwiązań wymiernych.

4.51.    Funkcjef: R ->R, g:R->R są wielomianami. Niech A oznacza zbiór rozwiązań równania f(x) = 0, zaś B zbiór rozwiązań równania g (x) = 0. Wykazać, że przy powyższych założeniach zbiorem rozwiązań równania f(x)-g{x) = 0 jest A u B, zaś zbiorem rozwiązań równania [J(x)]² + [^(x)]² = 0 jest A n B. Czy założenie, że/ g są wielomianami jest istotne?

4.52.    Wykazać, że jeśli a 0 i równanie ax³ + bx³ + cx + d = 0 ma dwa różne rozwiązania, z których jedno jest odwrotnością drugiego, to

a² — d² = ac — bd.

4.53.    Wykazać, że zbiorem rozwiązań nierówności

X¹² - X⁹ + X⁴ — x + 1 > 0 jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

29