47188 wyznaczniki,macierze (3)

26 Elementy algebry liniowej

26 Elementy algebry liniowej

	1	-2	1
det A =	2	1	-1
	1	3	2

=2+6+2-1+8+3=20

Ponieważ det A ^ 0, istnieje więc macierz odwrotna A ¹ do macierzy A.

Aby wyznaczyć macierz X z równania

AX = B

mnożymy lewostronnie obie strony równania przez A“'

A~'(AX) = A“'B.

Przekształcamy lewą stronę równania pamiętając, że mnożenie macierzy jest łączne

(A^-IA)X = A^_IB .

Z definicji macierzy odwrotnej mamy

A^-1 A = I,

wobec tego równanie przyjmie postać

IX    = A"'B.

Ponieważ IX = X , więc ostatecznie otrzymujemy

X    = A~'B.

Wyznaczamy macierz A ¹, korzystając ze wzoru

det A

A„	Ai2	A,3
A-21	a22	A23
a31	A 32	A33

A

gdzie Ay =(-l)'^+jdetMjj, i, j = 1,2,3 (patrz: zadanie 6).

(Ibliczamy wyrazy macierzy dopełnień algebraicznych dla macierzy A :

A„ =

A₂₁=-

a₃₁ =

1 -1

3    2

-2 1 3 2 -2 1 1 -1

— 5, A₁₂ — -

^:    A₂₂ —

-1, A₃₂ - -

2    -1

1 2 1    1

1    2

1

— 5, A₁₃ —

= 1, A₂₃=-1

2 -1

- 3, A₃₃ -

2 1 1    3

1 -2

1    3

1 -2

2    1

= 5,

= -5,

= 5.

Macierz odwrotna A ¹ jest więc postaci

A^-1 = —	A	-5	5“	T 1	5	7	f
	7	1	-5		-5	1	3
20	1	3	5	~~ 20	5	-5	5

Z adanie 8 (§ 3, zad. la)

Rozwiązać układ równań stosując wzory Cramera

2x-3y+ z = -l < x- y + z = 0 . x + 2y-3z = 3

V

Obliczamy wyznacznik układu równań (wyznacznik, którego elementami są współczynniki układu).

W =

2

1

1

-3

-1

2

1

1

-3

=6+2-3+l-9-4

-7.

Ponieważ W^O, więc do rozwiązania układu równań można zastosować wzory ('minera

x =

(*)

gdzie W_x, W_y, W_z - wyznaczniki otrzymane z wyznacznika W przez zastąpienie kolumny współczynników przy zmiennych odpowiednio x,y,z kolumną wyrazów wolnych.

()bliczamy

Wobec tego

X = A”^1 B = —	5 7 f	"-3"	1	20
	-5 1 3	4		40
20	5 -5 5	7	“ 20	L ^0

O dp. X =

A