wyznaczniki,macierze (4)

28 Elementy algebry liniowej

	-1	-3
wx =	0	-1
	3	2	-
	2	-1	1
wy =	1	0	1
	1	3	-3
	2	-3	-1
wz =	1	-1	0
	1	2	3

:3-9 + 3 + 2 = -7,

= -1 + 3-3 —6 =-7,

= —6 — 2 —1 + 9 = 0.

Biorąc pod uwagę wzory (*) otrzymujemy

x = 1, y = l, z = 0

Odp. x = 1, y = 1, z = 0.

A

Zadanie 9 (§ 3, zad. 4a)

Rozwiązać metodą macierzową układ równań

2x- y + 3z= 8 x - y + z = 3 . -x + 2y- z = -3

V

l Ikliul równań możemy zapisać w postaci macierzowej

AX = B,

		2	-1	3'		8"
gdy	A =	1	-1	1	, B =	3
		-1	2	-1		-3

()bliczamy

2-1    3

det A =

= 2 + 6 + 1 —3 —1 — 4 = 1.

1 -1 1 -1 2 -1

Ponieważ det A = 1 * 0, więc istnieje macierz odwrotna A ¹. Mnożymy lewostronnie obie strony równania

AX = B

przez macierz A^-1. Otrzymujemy

A~'(AX) = A^-IB.

Stąd (ponieważ mnożenie macierzy jest łączne)

(A^_,A)X = A^_1B

rx = A”‘B.

Lecz A 'A = I, więc Ponieważ IX = X , więc

X = A" B .

Znajdujemy najpierw macierz odwrotną A .

det A

■11	A12	A]3
21	A 22	a23
31	A32	a33

“A

I

A-'=-

gdzie Ay = (— 1)'^+J det My, i, j = 1,2,3 .

Obliczamy kolejne wyrazy macierzy dopełnień algebraicznych

A„ =

A₂, —

a₃,=

1 1 2 -1 -1

2

-1 3 -1 1

~    A₁₂ -

3

- 5, A₂₂ -

- 2, A₃₂ - -

1 1

-1 _ 2 '

2 -1 -1 2

= -l.

I

— 0, A₁₃ —

= 1. a₂₃=-2

-1, A₃₃-

1 -1 2    3

-1 -1

2 3 1 1

2    -1

1    -

= -3,

Macierz odwrotną możemy więc zapisać w postaci

	'-1 0 l"		T	'-1	5		2
A^-1 =	5	1 -3	=	0	1		1
	2	1 -1		1	-3		-1
		'-1	5	2	8'		Y
X II > 1 03 II		0	1	1	3	=	0
		1 -	-3	-1	-3		2

A zatem

Odp. x = 1, y = 0, z = 2.

A