32 Elementy algebry liniowej

32 Elementy algebry liniowej

2

k

3

2k-2

, A =

2

k

3

k + 2

4~

8

k + 2

9

k + 2

9

3k

Układ równań jest rozwiązalny wtedy i tylko wtedy, gdy

rzA = rzA.


Zauważmy, że

0 < rzA < 2, rzA < rzA < 3 .

Aby zachodziła równość rzędów macierzy A i A, musi zachodzić warunek

det A = 0.

2 ■

3

4

det A =

k

k + 2

8

k + 2

9

3k

= 6k(2k - 2) + 36k +

+ 24(k + 2) - 4(k + 2)(2k - 2) -144 - 9k2 = -5(k2 - 8k +16) = -5(k - 4)2. det A = 0 <=> k = 4.

Wobec tego dla wartości parametru k=4 układ równań jest rozwiązalny. Wstawiamy do układu równań wartość k=4. Otrzymujemy

2xj+3x2= 4 4x, +6x2 = 8 .

6x, + 9x2 =12

Zauważmy, że rzA = rzA = 1.

Liczba niewiadomych n=2. Na mocy twierdzenia Kroneckera-Capelli układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru. Przyjmujemy jedną ze zmiennych jako parametr, np.

x, = t, teR.

2t + 3x2 =4 .


Wówczas pozostawiając jedno równanie, np. równanie pierwsze otrzymujemy Stąd

teR.


4 2

:---1,

3    3

Wobec tego otrzymujemy odpowiedź. 2

Odp. xl = t, x2 =—(2 — t), teR.

A