2500336019

Zadanie 2.7

(a)    Wyznaczyć trzecią kolumnę macierzy odwrotnej do macierzy trójkątnej górnej z zadania 2a, rozwiązując odpowiedni układ równań liniowych.

(b)    Wyznaczone w zadaniu 2a macierze odwrotne zastosować do rozwiązania układów AX = B, gdzie macierz jednokolumnowa B jest pierwszą kolumną macierzy jednostkowej odpowiedniego stopnia. Zauważyć, że wtedy obliczone rozwiązanie jest równe pierwszej kolumnie macierzy odwrotnej A^-1.

Zadanie 2.8

(a) Zastosować elementarne przekształcenia, stosowane w eliminacji Gaussa, do przekształcenia macierzy A do postaci górnej trójkątnej

	' 1	2	3
A =	2	5	3	, A —
	1	0	8

12 0 0 2 10 0 0 0 12 0 0 2 1

A =

12 0 0 2 12 0 0 2 12 0 0 2 1

Czy wyznaczniki otrzymanych po tych przekształceniach macierzy uległy zmianie? Dlaczego?

(b) ([1], str. 60) Za pomocą elementarnych przekształceń (eliminacji Gaussa) przekształcić poniższy układ równań liniowych do układu z macierzą górną trójkątną

X\+X2 + 2xs = h, X\ + X3 = 62,    2x\ +X2 + 3X3 = 63.

Jakie warunki muszą spełniać współczynniki &i, 62,63, aby ten układ równań liniowych miał rozwiązanie? Wskazówka. Jak wygłąda ostatnie równanie otrzymanego układu równań i co z jego postaci wynika?

To samo wykonać dla następującego układu

xi + 2x2 + 3x3 = b\,    2x1 + 5x2 + 3x3 = 62, Xi + 8x3 = 63.

Czy ten układ ma jednoznaczne rozwiązanie dla dowolnych 61,62,63? Zbadać, czy macierze obu układów są nieosobliwe.

Zadanie 2.9

([1], str. 18, 19) Za pomocą eliminacji Gaussa, z ewentualnym przestawianiem wierszy, rozwiązać układy równań liniowych AX — B dla następujących par danych A i B:

	0	0	1 '		1	1	2 '		2	2	2 '
A =	1	0	0	, A =	-1 -2		3	, A =	-2	5	2
	0	1	0		3	-7	4		8	1	4

B = [5,3,4]^T,    { B = [8,1,10]^T,    l B = [0,1,-1]^t,

	1 -1 2 -1			0 12 3
	2 1-2-2			10 12
~	-12-41		A -	2 10 1
	3 0 0 -3			3 2 10
B =	-1,-2,1,—3]^r,		B = [6,4,4,6]^t.

14