SCN
36

Zadanie 7.4. Wyznaczyć ślad podanych macierzy:

Zadanie 7.4. Wyznaczyć ślad podanych macierzy:

	p i ii		'/ 1 0'		■'t 1 o
a)	i i i	b)	1 i 1	, c)	-2142 0
	_i		0 1 i		0 -10 1 -2

Zadanie 7.5. Obliczyć wyznaczniki poniższych macierzy, wyznaczając ich wartości własne:

		1	2	0‘		1	0 0 ‘
-2 1 '	b)	2	1	0	, c)	0	1 -2
4 ~^2.		0	0	1		0	0 1

				'2	0	0	0'		'-3	2	-3	-3'
1	-1	-2		0	2	0	0		0	-7	9	7
-1	2	1	, e)	0	0	2	0	, f)	0	0	2	-8
-2	1	3
				0	0	0	2		0	0	0	-4

Które z powyższych macierzy są nieosobliwe?

a)

d)

Zadanie 7.6. Wyznaczyć wartości własne poniższych macierzy trójkątnych. Podać odpowiedni wniosek:

a)

3 -7 0 4

	'2	1	0'
b)	0	0 C'1 1		, ^c)
	0	0	1

-1	2	-3	4
0	1	-2	3
0	0	-1	2
0	0	0	1

Zadanie 7.7. Porównać wartości własne macierzy i macierzy transpono-wanej. Podać odpowiedni wniosek:

	'2 f 1 2		5 2 3 '		1 2 0'		1 2 0'
a)		, b)	0 -7 -4 0 0 2	, c)	2 1 0 0 0 1	, d)	2 0 1 0 1 1

0

1

-3

	'5	2	2	-4'		0	0	0	4'
, f)	0	-3	1	0	, g)	0	0	3	0
	0	0	2	2		0	2	0	0
	0	0	0	-3		1	0	0	0

a)

0 5 3 2 ’

b)

1 1 -1 3

		'2 -2	3"
3 2'	, d)	1 1	1
5 4j		1 3 -1_

Zadanie 7.9. Zbadać liniową niezależność wektorów własnych poniż

szych macierzy:

•> E :]•		1 1' 1 -1		■ o o IO
	b)		. c)	0 1	, d)
				1 2 -1

Zadanie 7.10. Zbadać ortogonalność wektorów własnych następujących macierzy symetrycznych:

	'5	-l'		‘2 2 2?		0 0 f		0 2 f
a)	-1	5	, b)	2 2 2 2 2 2	. c)	0 1 0 1 0 0	, d)	2 0 3 1 3 0

Zadanie 7.11. Udowodnić, że jeśli macierz A jest nieosobłiwa, to macierze A i A^-1 mają identyczne wektory własne. Jaki jest związek między wartościami własnymi tych macierzy?

Zadanie 7.12. Pokazać, że każdy wektor własny macierzy A jest wektorem własnym macierzy A². Podać związek między wartościami własnymi macierzy A i A².

65