Macierze i wyznaczniki3

68 Macierze i wyznaczniki

Na podstawie obserwacji macierzy Aⁿ dla n = 1,2,3,4 wysuwamy hipotezę, że

	• 2^n_1	0	2n-l -
II	0	1	0
	2^n_1	0	2"-^1

Przeprowadzimy dowód tej hipotezy za pomocą indukcji matematycznej. Dla n = j hipoteza ta jest prawdziwa. Niech teraz n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że hipoteza jest prawdziwa dla liczby n. Pokażemy, że. jest ona prawdziwa dla liczby n + 1. Mamy

	' 2^n_1 0 2^n_1‘		'i 0 r		‘2^n 0 2^n '
,4^n+1 = A" ■ A "^!>tóenio =	0 1 0		0 1 0	=	0 1 0
jjpukcyjM	2n-l 0 2U—1		101.		.2^n 0 2^n

Zatem z prawdziwości hipotezy dla liczby naturalnej n wynika, jej prawdziwość dla liczby n+1. Ponieważ hipoteza jest prawdziwa dla n = 1, więc z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest ona prawdziwa dla każdej liczby naturalnej.

Układając odpowiednie układy równań znaleźć wszystkie macierze zespolone X spełniające podane równania macierzowe:

Rozwiązanie

a) Niech X =

a b c d

, gdzie a, b,c,d € <C, będzie szukaną macierzą. Wtedy

a) X² =

'1 0'		'112'		112'		"1 0'
.0 0	; b) X	0 1 1	—	^3 5 8	; c) X^2 =	° 1

a b		a b		a^2 + bc ab + bd
c d		c d		acĄ- cd bc + d^2

a² + bc = 1, b(a + d) = 0, c(a + d) = 0, bc + d² =0.

Z drugiego równania wynika alternatywa warunków 6 = 0 lub a+d = 0. Rozważmy zatem pierwszą możliwość 6 = 0. Wtedy pierwsze równanie przyjmuje postać o² = 1, a czwarte d² = 0. Stąd o = l lub o = —1 oraz d = 0. Ponieważ a + d = ±1 ^ 0, więc z trzeciego równania wynika, że c = 0. Ostatecznie otrzymaliśmy w tym przypadku dwa rozwiązania a = 1, 6 = 0, c = 0, d = 0 lub a = —1,6 = 0, c=0, d = 0. Jeżeli natomiast a + d = 0, to drugie i trzecie równania są spełnione dla dowolnych liczb zespolonych 6 i c. Równanie czwarte przyjmuje wtedy postać bc + a² = 0 i jest sprzeczne z pierwszym równaniem. Uzyskana sprzeczność wyklucza tę możliwość. Rozważane równanie macierzowe ma zatem tylko dwa rozwiązania

X =

1 0 0 0

oraz

X =

-1 0

o o

(Z ci -f* b 2 cl -j- b		112'
c c + d 2c + d		3 5 8

która jest równoważna układowi równań

a + b — 1, 2a -(- 6 = 2, c = 3, c + d — 5, 2c -f- d = 8.

Jedynym rozwiązaniem tego układu jest czwórka liczb a = 1, b = 0, c = 3, d = 2. Rozwiązaniem rozważanego równania jest zatem macierz

X =

Przykłady

69

b) Z postaci równania wynika, że macierz X jest macierzą kwadratową stopnia 2. Niech

zatem X =

a b

c d

, gdzie a,b,c,d 6 C. Równanie macierzowe przyjmie wtedy postać

1 0

3 2

c) Niech X =

a b c d

, gdzie a,b,c,d € C, będzie szukaną macierzą. Wtedy z warunku

a b		a b		i o'
c d		c d		0 1

otrzymamy układ równań

{a² + bc = 1 ab + bd = 0 ac + cd = 0 ’ bc + d² — 1

który jest równoważny układowi

' a² - d² = 0 ₍ ab + bd = 0 | ac + cd = 0 '

„ bc + d² = 1

Możliwe są zatem dwa przypadki a = d lub a = -d. Jeżeli a = d, to ab = ac = 0 i bc = 1 — a². Wtedy dla a■ = 0 mamy' 6c = 1. Macierz X jest więc postaci

0 b

Gdy a#0, toó — c—Oi wtedy a — 1 lub a = —1. W tym przypadku macierz X ma

postać

1 0 0 1

lub

-1 0 0 -1

Równanie X²

'l 0 0 0

jest zatem równoważne układowi równań