DSC07320

62    Macierze i wyznaczniki

"1

[-J _;] [-* -;]=[i i] =*. ■

Na podstawie zauważonych prawidłowości w macierzy Aⁿ dla n = 1.2,3,4,5 wysuwaj hipotezę o postaci tej macierzy

A' =

	dla	n = 4Jb + 1,
[10:	dla	n = 4k +2,
a	dla	n = 4k+3,
[::]	dla	n = 4k+4.

gdzie k = 0,1,2,3,... .

Przeprowadzimy teraz dowód tej hipotezy dla n = 4k + 1 za pomocą indukcji matem*-tycznej. Udowodnimy więc wzór

dla k = 0. 1.2_____ Dla k = 0 i Jfc = l wzór jest prawdziwy. Niech k będzie dowolną liczbą!

naturalną. Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla k. Pokażemy, że jest on prawdziwy takie dla kr L Mamy

^WM _{= <ł}4*r«._A4

saJofenitt

bdikcyjse

_ f i ii [i o] _ £ i

~ [o -ij [0 ¹ ” [o -i •

Zatem z prawdziwości hipotezy dla k wynika jego prawdziwość dla k + 1. Ponadto wzór je* prawdziwy dla kg 1, więc z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest on prawdziwy dla każdej liczby naturalnej oraz dla k = 0.

Uwaga*. W»ór ogólny na n-tą potęgę macierzy A ma postać

mi 1

t-l)

*(f)

i₌r*~ -Ti

J L o (-i)- '

ędzae Eu, oznacza część caikowią liczby u. b) Mamy

A¹ = A

A? * A- A

■

[10 11 ri 0 11    [2 0 2‘

0 10 0 10 = 0 10

i o iJ L» o ij La o 2.

Przykłady

63

A* = A- A² =

A* = A²-A* =

Na podstawie obserwacji macierzy .4" dla n = 1,2,3,4 wysuwamy hipotezę, że

r 2—¹ 0 2^n_1 i Aⁿ = I 0 l 0

L 2^H-‘ o r¹ J

Przeprowadzimy dowód tej hipotezy za pomocą indukcji matematycznej. Dla n = 1 hipoteza ta jest prawdziwa. Niech teraz n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że hipoteza jest prawdziwa dla liczby n. Pokażemy, że jest ona prawdziwa dla liczby n +1. Mamy

	’2^n~^l 0 2^n_l'		1 0 n		’2^n 0 2"'
«n+l _ a fi _ Ą nałożeni* _	0 1, 0		0 10		c o
‘ indukcyjne	2>>-i o o"^-1		.1 0 1.		2“ 0 2".

Zatem z prawdziwości hipotezy dla liczby naturalnej n wynika, jej prawdziwość dla liczby n+1. Ponieważ hipoteza jest prawdziwa dla n = 1, więc z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest ona prawdziwa dla każdej liczby naturalnej.

• Przykład 3.5

Rozwiązanie a) Niech X —

f a 6 [cd

, gdzie a, 6, c, d € C, będzie szukaną macierzą- Wtedy

X²

a b e d

a b c d

a² + bc ab + bd oe+ed bc+d²

Układając odpowiednie układy równań znaleźć wszystkie macierze zespolone X spełniające podane równania macierzowe:

a) X* =

r 1 0		112		1 jf 2		1 0
[o 0	b) X	0 1 1	—	3 5 8	; c)x^2 =	0 1

Równanie X²

jest zatem równoważne układowi równań

a² + bc =1, b(a + d) = 0. c(a + d) = 0, 6c + rf* = 0.

Z drugiego równania wynika alternatywa warunków b = 0 lub a + d = 0. Rozważmy zatem pierwszą możliwość A = 0. Wtedy pierwsze równanie przyjmuje postać a² = I, a czwarte d² = 0. Stąd a = l lub a = -1 oraz <f = 0. Ponieważ a + d = ±i j£ o, więc z trzeciego