Macierze i wyznaczniki3

68

Macierze i wyznaczniki

Na podstawie obserwacji macierzy Aⁿ dian = 1,2,3,4 wysuwamy hipotezę,

r    2""¹    o    2ⁿ-‘    i

0    1    0

2"^-1    0    2"^-1

Przeprowadzimy dowód tej hipotezy za pomocą indukcji matematycznej. Dla n == [ hipoteza ta jest prawdziwa. Niech teraz n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że hipoteza jest prawdziwa dla liczby n. Pokażemy, że jest ona prawdziwa dla liczby n + i. Mamy

"-¹ 0 2^n_1

.4ⁿ⁺¹ = .4" ■ A

0 1 0

r^-1 o 2ⁿ~

	'ior		■ 2” 0 2^n~
	0 1 0	=	0 1 0
	10 1.		2^n 0 2^n

Zatem z prawdziwości hipotezy dla liczby naturalnej n wynika, jej prawdziwość dla liczby n+1. Ponieważ hipoteza jest prawdziwa dla n = 1, więc z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest ona prawdziwa dla każdej liczby naturalnej.

3.5

Układając odpowiednie układy równań znaleźć wszystkie macierze zespolone X spełniające podane równania macierzowe:

a) X² =

• Prz

’1 0"		'112'		'112'	\ t/9	"l 0'
0 0	; b) x	0 1 1	—	^3 5 8	c) X^2 =	° 1

Rozwiązanie

a) Niech X =

a b c cl

, gdzie a, b,c,de C, będzie szukaną macierzą. Wtedy

a b		a b		a^2 4- bc ab + bd
c cl		c d		ac + cd bc + d^2

a² +bc = 1,

b(a + d) = 0, c(a + d) = 0, _n bc + d² =0.

Z drugiego równania wynika alternatywa warunków 6 = 0 lub a + d = 0. Rozważmy zatem pierwszą możliwość 6 = 0. Wtedy pierwsze równanie przyjmuje postać a² — 1, a czwarte d² = 0. Stąd a = 1 lub a = —1 oraz d = 0. Ponieważ a + d = ±1 ^ 0, więc z trzeciego równania wynika, że c = 0. Ostatecznie otrzymaliśmy w tym przypadku dwa rozwiązania a = 1, 6 = 0, c = 0, d = 0 lub a = — 1, 6 = 0, c = 0, d = 0. Jeżeli natomiast a + d = 0, to drugie i trzecie równania są spełnione dla dowolnych liczb zespolonych b i c. Równanie czwarte przyjmuje wtedy postać bc + a² = 0 i jest sprzeczne z pierwszym równaniem. Uzyskana sprzeczność wyklucza tę możliwość. Rozważane równanie macierzowe ma zateni tylko dwa rozwiązania

X =

1 0 0 0

X =

-1 0 0 O

równania wynika, że macierz X jest macierzą kwadratową stopnia 2. Niech °_c *    , gdzie o, b, c, d e C. Równanie macierzowe przyjmie wtedy postać

a a + b 2a + b		'l 12'
c c + d 2c + d		3 5 8

b) Z postaci zatem X -

przykłady

69

która jest równoważna układowi równań

ci -t- b = 1, 2 ci + 6=2, c = 3, c + d — 5, 2c -ł- d = 8.

Jedynym rozwiązaniem tego układu jest czwórka liczb a = 1, b — 0, c — 3, d — 2. Rozwiązaniem rozważanego równania jest zatem macierz

c) Niech X =

a b c d

, gdzie a,b,c,d € C, będzie szukaną macierzą. Wtedy z warunku

a b		a b		i o'
c d		c d		0 i

otrzymamy układ równań

{a² + bc = 1 ab    +    bd    =    0

ac    +    cd    =    0 ’

bc    J-    d²    —    1

który jest równoważny układowi

' a²    -    d²    =    0

ab    +    bd    =    0

ac    +    cd    =    0

„ bc    +    d²    =    1

Możliwe są zatem dwa przypadki a — d lub a = —d. Jeżeli a = d, to ab = ac = 0 i ^{c =} 1 — n². Wtedy dla a = 0 mamy bc = 1. Macierz X jest więc postaci

0 b

aytO, to b — c — Oi wtedy a = 1 lub a = — 1. W tym przypadku macierz X ma

Postać

Równanie X² =

1 0 0 0

jest zatem równoważne układowi równań

1 0 0 1

lub

-1 0 0 -1