Picture
2

Relacja / jest relacją lewostronnie jednoznaczną. ho na podstawie definicji oli /) nmjcmy:

(V,. v) < V o y² .V|,

(v.. y) g T o y² = ,v₂, y^} - V| Ar'’ .v₂ => -V| = x>.

Przykład 2.3

Niech X {I, 2, 3}, SczXxX, gdzie 5 = {(1, l),(l,3),(2, 1), (3, 1)}. Rela-i IV 5 przedstawiamy w tabelce:

s	1	2	3
1	X		X
2	X
3	X

Ponieważ:

I) (2, 2) (l S => 5 nie jest zwrotna.

.’) (2, I) e 5 a (1,2)g5 => 5 nie jest symetryczna,

3) (3. I)eS a(1,3)6S a 1 ■*- 3 => 5 nie jest antysymetryczna, •I) (2, I) e S a (1,3) e 5 a (2,3) 2 5=> 5 nie jest przechodnia, S) (2,3)2 5' a (3, 2) g 5 =>5 nie jest spójna.

2.2. Relacja odwrotna

Definicja 2.2

Relacją odwrotną do relacji S czXx Y nazywamy relację 5 ' cz Y x X złożoną z par:

S~' = {(y,*): (x,y) e 5}.

Przykład 2.4

Niech *={1,2,3}, Z= {o, b,c), 5c*x Y, S= {(1, a), (2, a), (2, c)}. Wtedy 5 'cFxJ.

Zatem: 5 ¹ = {{a, 1), (a, 2), (c, 2)}.

Pr/ykliid 2.5

Dlii relacji 7'c R x R. takiej że:

7’= {(.v, v): y² = .v)

wyznaczamy

r' = {{y,x):y² = x}.

Ponieważ relację T ¹ chcemy mieć określoną tak jak wszystkie relm je |io przez pary (x,y), dokonujemy zmiany ról x i y i otrzymujemy:

r' = |hj):-r²=.v).

Przykład 2.6

Wykazać, że:

,V prawostronnie jednoznaczna o S lewostronnie jednoznaczna;

.V prawostronnie jednoznaczna o A A (,v, y_t) e S a (.y, y₂) e S => r, i

xe.Y y,

Ale

(.r,y,) e So(y_t,x) e S~' (x,y₂) e So(y₂,x) e S~\

więc

A A(y,,i)e.r a (y₂, x) e TT¹ =>y, = y₂

lewostronnie

jednoznaczna

yi.jsez xeX

2.3. Złożenie relacji

Dane są relacje S cX x Y, T c YxZ, takie że Gs nD_r*@.

Definicja 2.3

Złożeniem relacji S i T (co oznaczamy T° S) nazywamy relację będącą pod zbiorem iloczynu kartezjańskiego X x Z złożoną z par:

T° S = {(a\ z): x e X a z e Z a V (x, y) e S a (y, z) e T}.