img035

Jednym z głównych celów statystyki jest wnioskowanie o całej zbiorowości statystycznej na podstawie zbadania pewnej jej części zwanej próbą. Estymacja punktowa polega na szacowaniu nieznanego parametru zbiorowości poprzez pewną wielkość, obliczoną na podstawie wyników próby. Wielkość tę nazywamy estymatorem. Przykładowo estymatorem nieznanej wariancji w całej populacji może być jej oszacowanie obliczone z próby na podstawie wzoru (3.13). Czy jednak będzie to oszacowanie optymalne? Spośród kilku wymagań stawianych estymatorom, najważniejsze są trzy: dobre estymatory powinny być efektywne, nieobciążonc i zgodne.

Estymator efektywny, to estymator o możliwie małym rozrzucie. Jest zrozumiałe, że z populacji generalnej możemy pobierać różne próby losowe. Obliczone na podstawie poszczególnych prób wartości estymatora tego samego nieznanego parametru populacji różnią się pomiędzy sobą. Estymator będzie efektywny, jeżeli różne próby dadzą możliwie zbliżone do siebie wartości oszacowania nieznanego parametru zbiorowości.

Estymator nieobciążony to z kolei taki estymator, którego wartość oczekiwana jest równa wartości nieznanego parametru populacji. Innymi słowy: estymator nieobciążony szacuje nieznany parametr zbiorowości bez błędu systematycznego.

Estymator zgodny ma tę właściwość, że stosowanie większych liczebnie prób poprawia dokładność szacunku (estymator jest stochastycznie zbieżny do wartości szacowanego parametru).

Obydwa oszacowania wariancji: zarówno tamto z wartością /j, jak i to drugie z /t-1 w mianowniku, charakteryzują się takim samym stopniem efektywności i własnością zgodności. Różnica polega jedynie na tym, że estymator określony wzorem (3.13) jest lekko obciążony, zaś estymator

n

s =

(3.15)

należy do grupy estymatorów nicobciążonych. Natomiast zarówno estymator (3.14) jak i estymator wyrażony wzorem

(3.16)

są obciążonymi estymatorami odchylenia standardowego. W dalszym ciągu będziemy dla szacowania wariancji lub odchylenia standardowego z próby używać zawsze wzorów

(3.15) i (3.16).

Intuicyjne wyjaśnienie stosowania wzoru (3.15) można podać wykorzystując pojęcie stopni swobody. Liczba stopni swobody jest równa liczbie niewiadomych, pomniejszonej

35