DSCN0471 (Large)

2. ELEMENTY TEORII MASZYNY UOGÓLNIONEJ

Zastosowanie wielkości zespolonych do rozwiązywania równań różniczko, wych obwodów elektrycznych (w tym i maszyn elektrycznych) zostanie przedstawione na przykładzie obwodu szeregowego R. L o paiametrach stałych, przy wymuszeniu napięciowym.

Równanie różniczkowe opisujące taki obwód jest następujące:

(2.53)

Niech wartość chwilowa wymuszenia napięciowego wynosi u = \/2 U sin (oir+ot)

(2.54

Napięcie to można wyrazić jako u - Im [v/2 t/c*"'] przy czym U - Uc*'

Rozpatrywany obwód zawiera stałe elementy; odpowiedź (prąd) miała taki sam charakter jak wymuszenie. Zatem równanie tego obwodu

(2.57)

przy czym /= Je^j*

(2.58)

Skoro

~ Im k/2/d-] = A _łm [Vo /    = A [^2 / sin (oh + /?)] =

= 01 y/2 1 cos («« +fi) L R_e [a, _S/J/ *!<«+#»] _{= Re}{_j<B    1 e«“'⁺«]} |

= ^Im ljcoy/2 / e*“+»] - Im [j_w>/2'

to równanie (2.57) można zapisać w postaci

Im [y/2Ue^'] = Im [(R+jo>L)s/2 /e¹"'¹]

(2.60)

Równanie (2.60) musi być prawdziwe dla dowolnej chwili czasowej. Zatem przyjmując / = 0 i dzieląc (2.60) obustronnie przez y/2 > otrzymuje się

Im U — Im £(/? +jeoL) /J

(2.61)

* Im Od)

^ł> Przy wyprowadzaniu (2.59) wykorzystano wzór Eulera oraz tożsamość Reli(-j^)j