8592539733

12

Funkcje zespolone.

Nie zawsze obrazem obszaru jest obszar.

Przykład 3.7. Funkcja/(z) =| z—zq | zmiennej zespolonej z (ż Q odwzorowuje płaszczyznę zespoloną na półoś rzeczywistą dodatnią, łącznie z jej początkiem.

□

Niech E C Q będzie dziedziną funkcji zespolonej / i niech Zq będzie punktem skupienia zbioru E (w punkcie zq funkcja / może nie mieć określonej wartości).

Definicja 3.8. (Heine’go)

Liczbę zespoloną g € Cl nazywamy granicą funkcji f w punkcie zq i oznaczamy lim f(z) = g, jeżeli dla każdego ciągu punktów (z_n) zbioru E różnych od zq,

Jh!d/(^z") ^{= g}-

Dla funkcji zespolonej zmiennej zespolonej prawdziwe są twierdzenia o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu w brzmieniu takim, jak dla funkcji zmiennej rzeczywistej.

Twierdzenie 3.9. Funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma granicę g = gi+ igi w punkcie z₀ = x₀ + iyo wtedy i tylko wtedy, gdy

lim u(x, y) = g\ oraz lim v{x, y) = #2-

y—y o    y—vo

Przykład 3.10.

z² +1

lim — = 0,

Z—* 2 + l

gdyż

Hm ——^ — lim(2 — *) = lim x + i(y — 1) = 0.

Z—»    Z + l    z—*i

□