57 (300)

122

Całki funkcji zespolonych

Zatem z’(ł) = Rie“. Podana powyżej parametryzacja nie jest zgodna z zadaną orientacją, więc przy obliczaniu całki należy przed nią postawić znak —. Mamy

3

J zim (z²) dz = — J z(ł)Im (z² (t)) z' (/) dt c    o

i

dt

= - J Re~^if Im (R²e^2it) Rie"

9

= — R² i J e^-" Im (fł²(cos 2t 4- isin 2t)) e" dt o

ł    i

= — R² i j e~“ R² sin 2t e“ dt = — R* i J sin2<df

,iO

c) Przyjmując z(t) = t otrzymamy parametryzację danego w zadaniu fragmentu paraboli w postaci

z(t) = t + it², gdzie t € [l, \/e].

Stąd z'(t) = 1 + 2<t. Mamy zatem

dt

f Jl. = f f(^{1 + 2ł}~^ł)^dt = f (1 + i)

i z + ż J z(t) + z(t) J    J \2t    )

=    1" 1*1 ^{+ ,ł}], ' ⁼ \ ^{ln +} *    “ ^J) = J + «' (\/e - l)

d) Całka po krzywej C jest sumą dwóch całek po odcinkach Ci i Ci (zobacz rysunek). Zatem

J e¹ dz = J e* dz -f J e^z dz.

Parametryzacja odcinka Ci o początku i końcu (1 -f- t)dana jest wzorem

*(0=J‘ + |*. gdzie t e [0,1],

Zatem z'(t) = —. Analogicznie parametryzacja odcinka —Ci dana jest wzorem

z(<) = (1 + i)^i, gdzie t € [0,1].

Zatem w tym przypadku mamy z'(t) = (1 + Obliczymy teraz całki po odcinkach Ci

/•    !•_ !■ (1 — « )f /    . ,

e* dz = — I z'(t) dt — — ^e    "k *) 2

₌ _l+4 |^_e⁽¹ -    ’ = -* (^e^{(1 _,)f} - l) = (~^łef - l) = -e^f + «•

Tak więc,

J e^Tdz = i(^ 1-e⁵) ⁺ (^{_e2 +}‘) ⁼~^e2 +^l(²-^e2)‘

c

• Przykład 6.2

Obliczyć podane całki po krzywej kawałkami gładkiej C o zadanym początku z 1 1 końcu Z2 :

a)    J sin(2iz)<fz, gdzie z_t = 0, *2 = jj*. ^a C J^{esŁ dowoln}3 krzywą łączącą te

C    punkty;

b)    [ ze¹ dz,    gdzie Zj = 1, *2 = 2 + Tri, a C jest dowolną krzywą łączącą te

c    punkty;

‘>/t-

gdzie zi = R, Z2 = Ri, a C jest fragmentem okręgu |z| = R łączącym te punkty leżącym w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Rozwiązanie

a)    Ponieważ funkcja F(z) = — ^tcos(2jz) jest funkcją pierwotną funkcji podcałkowej, więc

J sin(2:'z)dz = cos(2tz)J = ^ (cos( —ir) — cos 0) = —i.

c

b)    Całkując przez części otrzymamy funkcję pierwotną funkcji podcałkowej

F(z) = (z-l)e*.

Zatem

Szósty tydzień - przykłady

i C2. Mamy

i*!*Ćił2ł    ?*• ^J

123

[**-^Ir«-i/

c,    o

-f» ?<

e e dt

1 w / 1 l

i    .    2*

O

J ze¹ dz = [(z - l)e*]]^{+ ,r}' = e²⁺’^rl (1 -f jn) = e²f (1 + iri) = -e² (1 + iri).