65 (238)

Punkty osobliwe i residua

Dziewiąty tydzień

Przykłady

a) c,

_ f 2~ⁿ

ⁿ “ \ 2^n_l—

dla n ^ 0, 1 dla n < 0;

n

3"

0

_1

~ 2

Rozwiązanie

•
oo
E = —OO	Cn2^n, gdy
dla	n ^ 1,
dla	n = 0,
dla	n < 0.
z\^n _
2/	Jest to szereg geome-

tryczny zbieżny, gdy |^| < 1, czyli gdy |z| < 2, co oznacza, że promień zbieżności tego szeregu R = 2. Część osobliwa szeregu ma postać

E (2"-^,-l)*ⁿ = E(2—‘-l)*-“

n= — oo    n=l

Jest to szereg zbieżny, gdy |*| > r, gdzie

r= lim y|c_„| = lim y/\2~ⁿ~^l - 1| = lim t/l - -1— = \.

n —oo    n —oo    n-*oo y    ¹

Ostatnia równość wynika z twierdzenia o trzech dagach, bo dla n 6 JVmamy nierówności

sS 1

rzykłady

139

Ostatecznie pierścień zbieżności badanego szeregu Laurenta ma postać

{z € C: 1 < |*| < 2}.

Sumę szeregu stanowiącego część regularną obliczymy korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego:

Szereg stanowiący cześć osobliwą jest różnicą dwóch szeregów geometrycznych zbieżnych w wyznaczonym pierścieniu. Zatem

oo    oo    oo    _ 2.

V (2~ⁿ~'ⁱ - l') z~ⁿ = Y' ¹    _ _L ₌    4*___z_ _ _}___L_

Z—/''    ć    l—j 2ⁿ+¹ z" Z-J zⁿ ,    1    ,    1 4z - 2    z-1

n= 1    n= 1    n= 1    1 — ”—    1 — “

2 Z    Z

Ostatecznie sumą rozważanego szeregu Laurenta jest funkcja

2 — z 4z — 2    z-1’

,, . 2 1 1 /(*) = : +

gdzie 1 < |z| < 2.

b) Część regularna ma postać ^-z". Zatem obliczając jej promień zbieżności mamy

n= 1

0.1    .•    1    ..    3    3    ,

Część osobliwa badanego szeregu ma postać

#1

II = lim —_:-= hm    —;=    = hm    —7=    = - = 3.

—00 yn 1

i jest zbieżna dla |z| > r, gdzie

r= lim Vl^c-"l = ^liłn \l “x| “ lim \ \^ml

0—00    n — 00 y i | n — 00 y z

Zatem pierścień zbieżności badanego szeregu Laurenta ma postać

P= {z€ C: 1 < |*| < 3}.

Sumę szeregu stanowiącego część regularną obliczymy korzystają' 1 lwind/"iiiu " róż niczkowaniu szeregów potęgowych oraz ze wzoru na sumę szeregu geninel 1 v / m r ’ Mamy

f nz” _ f nz"-'_ ^ (zⁿ)'

Z—/ 3« ^z    3" ^x 2^1    3"    * (    ;)•• )

n=a 1    nal    nal    \n«l /

= z

(rfl) ^=z(rr.)