30 (633)

06

Punkty osobliwe i residua

•    Fakt 5.3.2 (residuum w biegunie jednokrotnym)

Jeśli zo jest biegunem jednokrotnym funkcji f(z), to

rcs_Jo/(z)= lim [(z - ;₀) /(z)] .

*‘0

O Ćwiczenie 5.3.3

Obliczyć residua podanych funkcji w biegunach jednokrotnych:

»)/(-)-^ '■>/W - 7(7TTiⁱ    .+2,•-£

•    Fakt 5.3.4 (residuum w biegunie jednokrotnym)

Jeśli funkcję /(z) można przedstawić w postaci    —y, gdzie funkcje g(z) i h(z) są

holomorficzne w otoczeniu punktu zo, przy czym h(zo) = 0 oraz /i'(zo) / 0, to

,/ _x    o)

^res-^{/(z) =} j7M'

O Ćwiczenie 5.3.5

Obliczyć residua podanych funkcji w ich biegunach jednokrotnych:

*>'W-ebr U/<■)-.■

C) /(*)=“-i ^d)/(z) =-f

sin z    _• i

1

• Fakt 5.3.6 (residuum w biegunie k-krotnym) Jeśli zo jest biegunem ifc-krotnym funkcji /(z), to

°^/(i) = (k^iy. .'i?.[(*- *»)‘/(*)] •

1    .. d^k~^l

O Ćwiczenie* 5.3.7

Wyprowadzić podany powyżej wzór.

Wskazówka. Wykorzystać rozwinięcie funkcji w szereg Laurenta w sąsiedztwie bieguna F-krotnego zo.

O Ćwiczenie 5.3.8

Obliczyć residua podanych funkcji we wskazanych biegunach:

a) /(*) =

1

, ZO = 2; b) /(z) =

2z + l

**(*-3)

, zo = 0; c) /(z) = -p-, Zo = o

e*) /(*) ⁼    —i *. = 0.

sin z

(z^J + 1)"’

O Ćwiczenie 5.3.9

Korzystając Z rozwinięcia I.aurenta obliczyć residua podanych funkcji w punktach istotnie osobliwych:

a) /(i) - z³e‘ , zo = 0; b) /(i) = sin —y, zo = 1; c)/(z) = i

z + 2

, Zo = -2.

Zastosowanie residuów do obliczania całek

67

5.4 Zastosowanie residuów do obliczania całek

• Twierdzenie 5.4.1 (całkowe o residuach)

Jeśli funkcja /(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym I) z wyjątkiem co najwyżej punktów zj, z₂, ... , z_n, a C jest krzywą Jordana kawałkami gładką, dodatnio zorientowaną, leżącą w tym obszarze i zawierającą wskazane punkty w swoim wnętrzu, to

I f(z)dz = 2niJ2 rcs,„/(z).

J    t- — 1

O Ćwiczenie 5.4.2

^a)/r

c

^ ^ — y, C - okrąg |z| = 3 zorientowany dodatnio;

Korzystając z twierdzenia całkowego o residuach obliczyć podane całki: dz

^b)    J    •^c _ okrłsi*^- 'i = 4 zorientowany ujemnie;

c

(x — 7r)^

c) I Ig z dz, C - elipsa -5—‘—|- y¹ = 1 zorientowana dodatnio;

<0

O

/'

c

/-—-, C - okrąg \z\ = 2 zorientowany dodatnio;

--sin² z

c 2

/.■$

J sir

_t sin z — cos z siń z + cos z

, C - okrąg z + — = —x zorientowany dodatnio;

o

f) J (z² + i) e‘ , C - okrąg | z| = 2 zorientowany dodatnio.

• Twierdzenie 5.4.3 (zastosowanie residuów do obliczania całek niewłaściwych) Jeśli funkcja /(z) jest holomorficzna w pólplaszczyźnie Im z ^ 0, z wyjątkiem

punktów z\, .......z_n, dla których Imz* > 0, gdzie k = 1,2.....n, przy czym

funkcja /(z) przyjmuje wartości rzeczywiste na osi rzeczywistej, a ponadto istnieją stale r > 0, M > 0 oraz o > 1 takie, że

1*1“

1/(01 r-n:    dla |z| ^ r,

to

OO    _n

f f(x)dx = 2iri^ res,_k/(z). jL    t=i

P(z)

Uwaga. Założenia powyższego twierdzenia spełnia funkcja wymierna /(z) =    .    ,

Q (²)

gdzie P(z) i Q(z) są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych, przy czym