29 (648)

64 Punkty osobliwe i residua

• Fakt 5.2.4 (charakteryzacja punktu pozornie osobliwego)

Niecli zo będzie punktem osobliwym odosobnionym funkcji /(z). Wówczas punkt z o jest pozornie osobliwy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica właściwa

lim /(z).

X — i₀

Uwaga. Jeśli zq jest punktem pozornie osobliwym funkcji f(z), to przyjmując

/(z₀) = lim /(z)

J — *0

pozbywamy się osobliwości i /(z) staje się funkcją holomorficzną na otoczeniu punktu zq.

O Ćwiczenie 5.2.5

Uzasadnić, że punkt zo = O jest punktem pozornie osobliwym funkcji f(z). Napisać rozwinięcie funkcji w szereg Laurenta w sąsiedztwie tego punktu:

cos z — 1

a) /(*) =

b) /(z) =

C) /(z) =

1

z(z’ + l)

• Fakt 5.2.6 (charakteryzacja bieguna funkcji)

Niech /(z) będzie funkcją holomorficzną w sąsiedztwie punktu z₀. Wówczas punkt ten jest:

1. biegunem funkcji /(z) wtedy i tylko wtedy, gdy

lim /(z) = oo;

z—zo

2. biegunem fc-krotnym funkcji /(z) wtedy i tylko wtedy, gdy

Jun [(z - z₀)* /(z)j y£ O oraz lim J(z - z₀)*⁺¹ /(z)] = 0.

• Fakt 5.2.7 (odpowiedność między zerami a biegunami funkcji)

1. Jeśli punkt zo jest biegunem fc-krotnym funkcji /(z), to dla funkcji

1

*(*) =

/(*)

0

dla z gk zo dla z = zq

jest on ^-krotnym zerem;

Jeśli punkt z₀ jest fc-krotnym zerem funkcji /(z), to jest on biegunem it-krotnym funkcji

/(*)

O Ćwiczenie 5.2.8

Korzystając z definicji lub z powyższych faktów znaleźć bieguny funkcji /(z) i zbadać ich

• Fakt 5.2.9 (charakteryzacja punktu istotnie osobliwego)

Niech funkcja f(z) będzie holomorficzna w sąsiedztwie punktu z₀. Wówczas punkt ten jest istotnie osobliwy wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje granica

lim /(z).

Z —« 0

Uwaga*. Jest wiele twierdzeń ilustrujących, jak osobliwie zachowuje się funkcja w sąsiedztwie punktu istotnie osobliwego. Dla przykładu przytoczymy tu twierdzenie Sochockiego*: jeśli zo jest punktem istotnie osobliwym funkcji /(z), to dla każdej liczby zespolonej a istnieje ciąg punktów (z„) taki, że

lim z„ = z₀ i lim /(z„) = a.

n—*oo    n —oo

O Ćwiczenie 5.2.10

Znaleźć punkty istotnie osobliwe podanych funkcji. Odpowiedź uzasadnić:

* 1 1

a) /(*) = e * ; b) f(z) = cos - cos z\ c*) f(z) = cos -7—.

5.3 Residua

krotność: a) /(z) = i +

b) /(*) =

sin z

c) /(*) =

clgs.

z² '

«*)/(*) =

1_

sin² z *

e) /(*) = Ig

Definicja 5.3.1 (residuum funkcji)

Residuum funkcji f(z) w punkcie z₀ nazywamy liczbę

res_Jo/(z) = c_i,

gdzie c_i oznacza współczynnik z indeksem —1 w części osobliwej rozwinięcia funkcji /(z) w szereg Laurenta w sąsiedztwie punktu zo.

V

Uwaga. Niech funkcja /(z) będzie holomorficzna w sąsiedztwie S (zo. ^r) punktu zo, gdzie r > 0, i niech C będzie dowolnym dodatnio skierowanym okręgiem |z — zo| = g < r. Wówczas z twierdzenia Laurenta (Twierdzenie 5.1.5) mamy

^c-' = ŁJ^f{z)dz-

c

Wzór ten pozwala zastosować residua do obliczania całek.

^Julian Sochocki (1842-1927), matematyk rosyjski.