67 (227)

142    Punkty osobliwe i residua

oraz

i..¹ _ ^{2 1} _ ^{2 1} A 2yWz\"    v ²"

3z- 2    3 £ _ j 3j_£    3^\2/ ” 2_y 3 • 2"-> '

Ostatecznie

/(*) = i-y + V tDl ₌ i _    .. «1- ₊ y iziT

²—' 3 • 2^n_1    ^ 3 • zⁿ 3    3.2"-¹    3 • z”

n=0    n= 1    ns=l    n= 1

e) W tym przykładzie wykorzystamy rozwinięcie funkcji sin z w szereg Maclaurina, tj. wzór

= E⁽(2n+l)! * ^Sdz*^e Z € °

\n 2n+l

Dla z ^ 0 mamy

2n+l

n;2n+l

n -2n+l

_ i-in..... | y->    v~^ (—i)ⁿi'^łn+l (-i)—.--'

Z-/ (2n 4- l)!z²ⁿ Zv (2n + l)!z²"+²    2_v (2n + l)!z²ⁿ ^ (2n - l)!z²"

nssO    n=0    n=0    n=l    ⁷

(-I)ⁿj2"+J y, (_i)ⁿ,2a₊t    “    (_ 1 )»_t’²»+ > (₄„² ₊ 2n + l)

“ Zv (2n + l)!z^{2n +} Z^ (2n - l)!z²ⁿ ~ 2-,    (2n + l)!z²"    '

Przykład o    «»|p| || 11||||||H

Określić rodzaj punktów osobliwych odosobnionych funkcji /(z). W przypadku biegunów zbadać ich krotność:

a) /(z) =

d) /(*) =

(f^a + 2)

sin z

2»

b) /(z) =

z² + z

z⁴ - r

^e) /(*) = e¹ - 1.

c) /(z) =

1

z sin z

Rozwiązanie

a)    Mamy

(z² + 2)² = (z + \/2i)² (z — \/2t)² ,

więc punkty — y/2i, \/2i są zerami dwukrotnymi mianownika. Ponadto punkty te nie są zerami licznika, a zatem są biegunami dwukrotnymi funkcji /(z).

b)    Ponieważ

z⁴ - 1 = (z - l)(z + l)(z - «)(z + i),

więc punkty —1, 1, —tj t są zerami jednokrotnymi mianownika. Punkty 1, —tj t nie są zerami licznika, więc są biegunami jednokrotnymi funkcji /(z). Punkt —1 jest zerem jednokrotnym licznika, dlatego spodziewamy się, że dla funkcji /(z) będzie punktem pozornie osobliwym. Możemy to łatwo sprawdzić licząc granicę

lim /(z)

Z —— 1

lim t-

z —-i (z —

z(z + 1)_

l)(z+ l)(z² + 1)

lim

Z — -1

1

4'

Dziewiąty tydzień - zadania

143

Ponieważ obliczona granica jest właściwa, więc punkt —1 jest pozornie osobliwy dla funkcji /(z).

c) Szukamy miejsc zerowych mianownika. Mamy

sin z = 0 ą=> z = kit, gdzie k € Z.

Ponieważ (sin z)’ = cos z i cos (kit) = ( — l)^k ^ 0 dla k £ Z, więc punkty z* = kir,

gdzie k £ Z, są zerami jednokrotnymi funkcji sin z. Ponadto punkt z₀ = 0 jest też zerem jednokrotnym funkcji z, więc jest zerem dwukrotnym mianownika. Zatem punkt z_a = 0 jest biegunem dwukrotnym, a punkty z* = kir, gdzie k £ Z \ {0}, są biegunami jednokrotnymi funkcji /(z).

d) Punkt zo = 0 jest zerem czterokrotnym mianownika, ale jest też zerem jednokrotnym licznika. Spodziewamy się więc, że jest biegunem trzykrotnym funkcji /(z). Możemy to łatwo sprawdzić licząc granice

lim z³/(z) = lim ?!!!_?. = 1^0, lim z* f(z) = lim sin z = 0.

Innym sposobem zweryfikowania tego stwierdzenia jest rozwinięcie funkcji /(z) w szereg Laurenta w sąsiedztwie punktu zo = 0. Mamy

gdzie 0 < |z| < oo. Część osobliwa tego rozwinięcia ma skończenie wiele składników, przy czym najmniejszym wykładnikiem występującej w niej potęgi z" jest —3. Oznacza to, że zo = 0 jest biegunem trzykrotnym funkcji /(z).

OO

OO

n

e) Funkcja /(z) nie jest określona w punkcie zo = 0. Rozwiniemy ją w szereg Laurenta w sąsiedztwie tego punktu wykorzystując przy tym rozwinięcie funkcji e^z w szereg Mac-laurina. Mamy

gdzie 0 < |z| < oo. Część osobliwa tego rozwinięcia zawiera nieskończenie wiele wyrazów, więc zo = 0 jest punktem istotnie osobliwym funkcji /(z).

Zadania

OO

c„z”, jeżeli:

O Zadanie 9.1

Znaleźć pierścień zbieżności i sumę szeregu Laurenta

dla n > 0,

dla n < 0;

c*) c_n = 1

0 dla n = —2,

— 1 dla ti < 0, n —2.