71 (217)

150 ii Punkty osobliwe i residua

Korzystając z przytoczonego na wstępie wzoru mamy

/

— OO

dx

x* + 5x² + 6

^27r* (^res^FT^Te ^{+ res}^,*+L-+ś)

„_V 1    1 A 3n/2-2x/3_

A 2 Jii 2V3i)~    6

Zadania

O Zadanie 10.1

a)    Jak oblicza się residua w punkcie istotnie osobliwym?

b)    Dlaczego w przypadku punktu istotnie osobliwego próby stosowania wzorów służących do obliczania residuów w biegunach muszą zakończyć się fiaskiem?

c)    Podać przykład funkcji, dla której punkt z = 0 jest istotnie osobliwy i reso /(z) = a, gdzie a jest dowolną liczbą zespoloną.

O Zadanie 10.2

Obliczyć residua funkcji /(z) w punktach osobliwych:

^a) A*) = prn-; ^b) /(*) = (731)2; ^c) /w = priTłf; ^{d)/(z) =} ^7^{; e)} f{z) = T^:    = **'-,

g) f(z) = -—w punkcie z = i.

0 Zadanie 10.3

^%)!

Korzystając z twierdzenia całkowego o residuach obliczyć podane całki: zdz

z²+ 2z +2’ dz

C - okrąg |z| = 2 zorientowany dodatnio;

, C - okrąg x² + y² = 2x + 2y zorientowany dodatnio;

^b) / (z - l)²(z² + 1)’

c

/,e*^zdz

-:> C - okrąg |z| = 1 zorientowany dodatnio;

c

f dz

d) / -jj-C - okrąg |z — 2zj = 3 zorientowany dodatnio;

c

[    j    1

e) / (z + l)e^z dz, C - okrąg |z| = - zorientowany dodatnio.

O Zadanie 10.4

Obliczyć podane całki niewłaściwe:

*> / ^b) /

dx

(1 + x²)³'

OO

^c) / (P

dx

+ 2)(x² + 5)

Odpowiedzi i wskazówki

10.1 a) Trzeba znaleźć współczynnik c_i części głównej szeregu Laurenta; b) Jeśli zo jest punktem istotnie osobliwym funkcji {(z), to jest też punktem istotnie osobliwym funkcji

£_zk-\ [(* “ ^z°)^k f(^z)) (dlaczego?), a więc lim    [(^z “ ^zo)^k /(*)] nie istnieje;

a    1

^c) f(^z) — ^{e 1} a / 0> /(²) = e ^z dla a = 0.

10.2 a) res,/(z)

1 1 .

— — —res

1 1 .

—7(²) = o + r»! b) res,/(z) = 2; c) res₀/(z) = 1,

*+i

E(* +1) *■]'

res, /(z) = - res_i /(z) = - -; d) res₀/(z) = 0, res^₊i)„/(z) = (-1) gdzie k e Z\e) res₀/(z) = 1; f) res₀/(z) = i; g) res,/(z) =

Z    o

10.3    a) 2jm; b) — -jrt; c) (—1 -f t)7rch d) 2rri; e) 37ri.

z    z

10.4    a) xv/2; b) 3^; c) ^ (ó>/2 - 2n/s) .