27

5

PUNKTY OSOBLIWE I RESIDUA

5.1 Szeregi Laurenta

• Definicja 5.1.1 (szereg Laurenta*, część regularna, część osobliwa) Niech będą dane szeregi

oo    oo

X>"(²-²°)" °^ra* i ^c~° -i" ■

(* - ^z°)

gdzie c_ne C dla n ę. Z. Sumę tych szeregów oznaczamy symbolem

OO

YZ c_n(z-z₀)ⁿ

n = — oo

i nazywamy szeregiem Laurenta o środku w punkcie z₀ > współczynnikach c„. Pierwszy z tych szeregów nazywamy częścią regularną, a drugi częścią osobliwą tego szeregu.

r-, t- •• r ■*    / i    , , .    ..    .    , ,

Definicja 5.1.2 (zbieznosc t rozbieżność szeregu Laurenta)    ......

Mówimy, że szereg Laurenta jest zbieżny w punkcie, jeśli zarówno szereg stanowiący jego część regularną, jak i szereg stanowiący jego część osobliwą są zbieżne w tym punkcie. Jeśli choć jeden z tych szeregów jest rozbieżny, to mówimy, że szereg Laurenta jest rozbieżny w tym punkcie.

• Twierdzenie 5.1.3 (pierścień zbieżności szeregu Laurenta) Niech

R =    —- oraz r = lim </|c_„|.

lim Vl^cn|    n — oo

n —*oo

Wówczas, jeśli r < R, to szereg Laurenta

OO

YL Cn(z-z<>r

n = —oo

"Pierre Alfonse Laurent (1813-1854), matematyk francuski.

jest zbieżny w pierścieniu

{zg C : r < |* - *o| < H) i przedstawia w nim funkcję holomorficzną.

V

Rys. 5.1.1. Pierścień zbieżności szeregu Laurenta.

O Ćwiczenie 5.1.4

oo

Znaleźć pierścień zbieżności i sumę szeregu Laurenta    c„z", jeśli:

!1    dla    rt < 0,

1

—    dla    n Js 0;

b*) c,

J (-»)

-- dla n < 0,

-ni!

—-    dla n ^ 0.

n!

• Twierdzenie 5.1.5 (o rozwijaniu funkcji w szereg Laurenta) Jeśli funlęcja f(z) jest holomorficzna w pierścieniu

P= {z 6 C : r < |z - z₀| < R} , to można ją rozwinąć w nim w szereg Laurenta

/(²) = £ c„(z -z₀)ⁿ,

przy czym

e z,

1 f f(0<K    „

c„ = -—; / --TT dla n

*J «-zo)ⁿ⁺¹

gdzie C jest dowolnym dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w punkcie z<) zawartym w pierścieniu P.

Twierdzenie 5.1.6 (o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg Laurenta)

OO

Jeśli /(z) =    ^ c„ (z — *₀)ⁿ dl³- każdego z z pewnego pierścienia o środku w

punkcie zq, to

, _ _L f f«)^d<

" 2*' J « - *o)"⁺¹

dla n £ Z,